gcd(a,b)和exgcd(a,b,x,y)

gcd(a,b)和exgcd(a,b,x,y)

gcd()：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b) return gcd(b,a%b);
    else return a;
}

当然也可以使用头文件<algorithm>自带的函数__gcd(a,b)

exgcd(a,b,x,y)：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int gcd;
    if(b){
        gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
    else gcd=a,x=1,y=0;
    return gcd;
}

证明：

假设有

①\(ax_1+by_1=gcd(a,b)\)

②\(a'x_2+b'y_2=gcd(a,b)\)

先假设②是在①的下面，也就是说，在递归顺序中②是先执行完的。

我们由\(gcd(a,b)\)的代码实现过程可以很容易得到：
\(a'=b,b'=a\%b=a-a/b*b\)

代入②式得\(bx+(a-a/b*b)y_2=gcd(a,b)\)，整理一下，\(ay_2+b(x_2-a/b*y_2)=gcd(a,b)\)

跟①式进行对照，即可得出\(\begin{cases}x_1=y_2\\y_1=x_2-a/b*y_2 \end{cases}\)

扫描二维码关注公众号，回复： 8714280 查看本文章

即得到了\(x\)和\(y\)的递推关系