史上最菜 FFT 讲解

回想到学了好多次 FFT 第一次有感觉的时候，半懵半懵地写了板子
再到现在能熟练背诵 NTT 的板子，发现对 FFT 最初的原理渐渐淡漠了
好在有些东西越学越明白，于是来谈一谈

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FFT，快速傅里叶变换

例：给出多项式 $A(x),B(x)$ 求 $A(x)*B(x)$， $n\le 1e5$
令 $A(x)$ 有 $n$ 项， $B(x)$ 有 $m$ 项

那么我们将 $A(x),B(x)$ 用点值表示，求出点值的乘积
显然最后的项数是 $n+m-1$
那么我们只需要求出 $n+m$ 个点值就可以把乘出来的多项式给高斯消元回去
这部分的复杂度是点值 $O(n^2)$，点乘 $O(n)$，高斯消元 $O(n^3)$

好似无法优化。。。

但是傅里叶想出了一种巧妙的方法

引入概念：复数域与单位根

一个坐标系，用 $(x,y*i)$ 表示一个点的坐标
单位圆：显然一个单位圆上面的点可以被表示成 $(cos(\theta),sin(\theta)*i)$
单位根：定义 $n$ 次单位根 $\omega_n^k$ 表示把单位圆等分成 $n$ 的第 $k$ 个点
标号如下，那么有 $\omega_n^k=(cos(\frac{2*\pi}{k}),sin(\frac{2*\pi}{k})*i)$

单位根的性质：
$\omega_{2*n}^{2*k}=\omega_n^k$，证明显然

$w_n^p*w_n^q=w_n^{p+q}$
证明：令 $\omega_n^p$ 的极角为 $\theta$，即与 x 轴的夹角， $\omega_n^q$ 的为 $\alpha$

$(cos(\theta),sin(\theta)*i)*(cos(\alpha),sin(\alpha)*i)=(cos(\theta)cos(\alpha)-sin(\theta)sin(\alpha),(cos(\theta)sin(\alpha)+sin(\theta)cos(\alpha))*i)$
前面是 $cos(\alpha+\theta)$，后面就是 $sin(\alpha+\theta)$

证毕！

好的，现在我们把点值带成 $\omega_d^k$，对于 $k\in[0,n+m]$ 求出 $f(\omega_d^k)$
注意这里的 $d$ 是第一个 $\ge n+m$ 的二的整次幂方便后面出了

然后
对于 $k\in[0,n+m]$ 求出 $f(\omega_d^k)*g(\omega_d^k)=h(\omega_d^k)$
最后将 $h$ 变回去

大致分为 3 部
第一部分是 $O(n^2)$ 的，考虑优化

注意到
$f(\omega_d^k)=\sum_{i=0}^{d-1}(w_d^k)^i*a_i=\sum_{i=0}^{d/2-1}(w_d^k)^{i*2}a_{i*2}+\sum_{i=0}^{d/2-1}(w_d^k)^{i*2+1}a_{i*2+1}$
$=\sum_{i=0}^{d/2-1}(w_{d/2}^k)^ia_1(i)+w_d^k*\sum_{i=0}^{d/2-1}(w_{d/2}^k)^ia_2(i)$

其中 $a_1(i),a_2(i)$ 表示将 $a$ 按奇偶性分类后的 $a_{i*2}$ 和 $a_{i*2+1}$

那么如果我们继续将 $f(x)=\sum_{i=0}^{d/2-1} a_1(i)*x^i$ 的多项式的话

前面那一项就是 $f(\omega_{d/2}^k)$，上面那个式子可以化成
$f(\omega_d^k)=f_1(\omega_{d/2}^k)+w_d^kf_2(\omega_{d/2}^k)$
注意到这样就可以分治了
这样会有 $log_2(n)$ 层，每层需要对 $O(n)$ 个 $k$ 算出 对应的 $f(\omega_d^k)$
复杂度 $O(nlog_2(n))$

还需要优化一个转回去的过程
注意到这个变化的本质是一个向量
$\{a_0,a_1,...,a_{d-1}\}$
乘上一个矩阵
$\begin{bmatrix} \omega_d^{0} & \omega_d^{1} & ... & \omega_d^{d-1} \\ ( \omega_d^{0})^2 & (\omega_d^{1})^2&...& (\omega_d^{d-1})^2 \\ & & ... \\ ( \omega_n^{0})^{d-1} & ( \omega_n^{1})^{d-1}&...&(\omega_d^{d-1})^{d-1}\end{bmatrix}$
考虑手动求它的逆矩阵
注意到下面这个矩阵就满足条件
$\frac{1}{d}*\begin{bmatrix} \omega_d^{0} & \omega_d^{-1} & ... & \omega_d^{-(d-1)} \\ ( \omega_d^{0})^2 & (\omega_d^{-1})^2&...& (\omega_d^{-(d-1)})^2 \\ & & ... \\ ( \omega_n^{0})^{d-1} & ( \omega_n^{-1})^{d-1}&...&(\omega_d^{-(d-1)})^{d-1}\end{bmatrix}$

为什么是它的逆矩阵呢，这里利用到了一个性质

$\frac{\sum_{i=0}^{d-1}w_{d}^{i\sigma} }{d}=[d|\sigma]$

证明可以用等比数列，也可以理解为 $\omega$ 的正负抵消
观察一下矩阵的系数就可以发现只有对角线上是 1

同样分治进行变换即可
也就是说如果令 $g(x)=\sum_{i=0}^{d-1}f(\omega_d^i)*x^i$ 的话
最后的第 $i$ 项系数就是 $g(\omega_n^{-i})$

是不是很妙！

一些小优化

递归版的分治已经凉了（T飞），找一下规律可以发现

就是二进制反过来
还有一个优化是
$f(\omega_d^k)=f_1(\omega_{d/2}^k)+w_d^kf_2(\omega_{d/2}^k)$
只需要对 $k\in[0,d/2]$ 求出这样一个 $f(\omega_d^k)$，利用
$f(\omega_d^{k+d/2})=f_1(\omega_{d/2}^k)-w_d^kf_2(\omega_{d/2}^k)$
即可求出另一半，可以优化 $1/2$ 的常数

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void fft(cp *a, int inv){
	for(int i=0; i<len; i++) if(i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for(int i = 1; i < len; i <<= 1){
		cp wn(cos(PI/i), inv * sin(PI/i));
		for(int j = 0; j < len; j += (i<<1)){
			cp w = cp(1, 0);
			for(int k = 0; k < i; k ++, w = w * wn){
				cp x = a[k + j], y = w * a[k + j + i];
				a[k + j] = x + y, a[k + j + i] = x - y;
			}
		} 
	}
}