七、(10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不变子空间. 证明:
(1) 对任意的正整数 $k$, $\varphi^{-k}(U):=\{v\in V\mid \varphi^k(v)\in U\}$ 和 $\varphi^k(W):=\{\varphi^k(w)\mid w\in W\}$ 都是$\varphi$-不变子空间;
(2) 存在正整数 $m$, 使得对任意的 $k\geq m$, $\varphi^{-k}(U)=\varphi^{-m}(U)$, $\varphi^k(W)=\varphi^m(W)$, 并且 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$.
证明 (1) 容易验证 $\varphi^{-k}(U)$ 和 $\varphi^k(W)$ 都是 $V$ 的子空间. 任取 $v\in\varphi^{-k}(U)$, 即 $\varphi^k(v)\in U$, 由于 $U$ 是 $\varphi$-不变子空间, 故 $\varphi\big(\varphi^k(v)\big)\in U$, 从而 $$\varphi^k\big(\varphi(v)\big)=\varphi^{k+1}(v)=\varphi\big(\varphi^k(v)\big)\in U,$$ 即 $\varphi(v)\in\varphi^{-k}(U)$, 从而 $\varphi^{-k}(U)$ 是 $\varphi$-不变子空间. 注意到上式也告诉我们: $\varphi^{k+1}(v)\in U$, 即 $v\in\varphi^{-(k+1)}(U)$, 从而有子空间的包含关系: $\varphi^{-k}(U)\subseteq\varphi^{-(k+1)}(U)$. 任取 $v=\varphi^k(w)\in\varphi^k(W)$, 其中 $w\in W$, 由于 $W$ 是 $\varphi$-不变子空间, 故 $\varphi(w)\in W$, 从而 $$\varphi(v)=\varphi(\varphi^k(w))=\varphi^{k+1}(w)=\varphi^k(\varphi(w))\in\varphi^k(W),$$ 即 $\varphi^k(W)$ 是 $\varphi$-不变子空间. 注意到上式也告诉我们: $\varphi^{k+1}(w)\in\varphi^k(W)$, 从而有子空间的包含关系: $\varphi^{k+1}(W)\subseteq\varphi^k(W)$.
(2.1) 由上面的讨论可知, 存在 $\varphi$-不变子空间的如下包含关系: $$U\subseteq\varphi^{-1}(U)\subseteq\varphi^{-2}(U)\subseteq\cdots\subseteq V,\quad W\supseteq\varphi(W)\supseteq\varphi^2(W)\supseteq\cdots\supseteq 0,$$ 从而有维数的不等式: $$\dim U\leq\dim\varphi^{-1}(U)\leq\dim\varphi^{-2}(U)\leq\cdots\leq\dim V,\\ \dim W\geq\dim\varphi(W)\geq\dim\varphi^2(W)\geq\cdots\geq 0.$$ 注意到递增和递减的整数 (子空间维数) 数列夹在两个有限区间里, 故它们不能有无限次严格递增和无限次严格递减的情况出现, 因此存在正整数 $m$, 使得对任意的 $k\geq m$, $\dim\varphi^{-k}(U)=\dim\varphi^{-m}(U)$, $\dim\varphi^k(W)=\dim\varphi^m(W)$, 即从指标 $m$ 开始, 两类子空间的维数都保持不变了. 因此, 由子空间的包含关系即得: 对任意的 $k\geq m$, $\varphi^{-k}(U)=\varphi^{-m}(U)$, $\varphi^k(W)=\varphi^m(W)$.
证法一 我们按照直和的定义, 分两步来证明 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$.
(2.2) 先证 $\varphi^{-m}(U)\cap\varphi^m(W)=0$. 任取 $v\in\varphi^{-m}(U)\cap\varphi^m(W)$, 即存在 $w\in W$, 使得 $v=\varphi^m(w)$ 且 $\varphi^m(v)=\varphi^{2m}(w)\in U$, 于是 $w\in\varphi^{-2m}(U)=\varphi^{-m}(U)$, 故有 $v=\varphi^m(w)\in U\cap W=0$, 从而 $v=0$. 我们还有另一种证明方法. 将线性变换 $\varphi:V\to V$ 限制在 $\varphi^m(W)$ 上, 得到线性映射 $\varphi_1:\varphi^m(W)\to\varphi^{m+1}(W)$, 这是一个满射. 又由 (2.1) 可知 $\varphi^m(W)=\varphi^{m+1}(W)$, 从而 $\varphi_1$ 是一个线性同构. 特别地, $\varphi^m_1:\varphi^m(W)\to\varphi^{2m}(W)$ 也是一个线性同构. 注意到在上面的讨论中, $\varphi^m(v)=\varphi^{2m}(w)\in U\cap W=0$, 从而 $\varphi^{2m}(w)=0$, 于是 $v=\varphi^m(w)=0$.
(2.3) 再证 $V=\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)$. 任取 $v\in V$, 设 $v=u+w$, 其中 $u\in U$, $w\in W$, 则 $\varphi^m(v-u)=\varphi^m(w)\in\varphi^m(W)=\varphi^{2m}(W)$, 即存在 $w_1\in W$, 使得 $\varphi^m(v-u)=\varphi^{2m}(w_1)$, 即 $\varphi^m(v-u-\varphi^m(w_1))=0$. 令 $u_1=v-u-\varphi^m(w_1)$, 则 $u_1\in\mathrm{Ker}\varphi^m\subseteq\varphi^{-m}(U)$, 从而 $v=(u+u_1)+\varphi^m(w_1)\in\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)$.
证法二 我们可以用维数公式去替代上面的 (2.2) 或 (2.3) 来证明直和, 但这个维数公式并非显然, 需要严格的证明.
(2.4) 证明 $\dim V=\dim\varphi^{-m}(U)+\dim\varphi^m(W)$. 将线性变换 $\varphi^m: V\to V$ 限制在 $\varphi^{-m}(U)$ 上, 得到线性映射 $\varphi^m_2:\varphi^{-m}(U)\to U$. 注意到 $\mathrm{Ker}\varphi^m_2=\mathrm{Ker}\varphi^m$, $\mathrm{Im}\varphi^m_2=U\cap\mathrm{Im}\varphi^m$, 从而由线性映射的维数公式可得 $$\dim\varphi^{-m}(U)=\dim\mathrm{Ker}\varphi^m+\dim(U\cap\mathrm{Im}\varphi^m).\cdots\cdots(*)$$ 由于 $\varphi^m(U)\subseteq U$, $\varphi^m(W)\subseteq W$, 故 $\varphi^m(U)\cap\varphi^m(W)\subseteq U\cap W=0$, 即 $\varphi^m(U)\cap\varphi^m(W)=0$, 从而 $$\mathrm{Im}\varphi^m=\varphi^m(V)=\varphi^m(U)+\varphi^m(W)=\varphi^m(U)\oplus\varphi^m(W).\cdots\cdots(\dagger)$$ 由于 $$U\cap\mathrm{Im}\varphi^m=U\cap(\varphi^m(U)+\varphi^m(W))=\varphi^m(U)+U\cap\varphi^m(W)=\varphi^m(U),$$ 故由 $(\dagger)$ 式可得 $$\dim(U\cap\mathrm{Im}\varphi^m)=\dim\varphi^m(U)=\dim\mathrm{Im}\varphi^m-\dim\varphi^m(W).\cdots\cdots(\sharp)$$ 由 $(*)$ 和 $(\sharp)$ 两式, 再利用 $\varphi^m$ 的维数公式即可得证.
证法三 我们也可以直接证明 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$. 将线性变换 $\varphi:V\to V$ 限制在不变子空间 $W$ 上, 得到线性变换 $\varphi_1=\varphi|_W:W\to W$. 由高代白皮书例 4.33 的结论可知: 存在正整数 $m$, 使得对任意的 $k\geq m$, $\mathrm{Ker}\varphi^k_1=\mathrm{Ker}\varphi^m_1$, $\mathrm{Im}\varphi^k_1=\mathrm{Im}\varphi^m_1$, 且 $W=\mathrm{Ker}\varphi^m_1\oplus\mathrm{Im}\varphi^m_1$. 注意到 $\mathrm{Im}\varphi^m_1=\varphi^m(W)$, 又由定义容易验证 $U+\mathrm{Ker}\varphi^m_1\subseteq\varphi^{-m}(U)$, 故 $$V=U\oplus W=U\oplus\mathrm{Ker}\varphi^m_1\oplus\varphi^m(W)\subseteq\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)\subseteq V.$$ 因此上述包含关系只能取等号, 即有 $U+\mathrm{Ker}\varphi^m_1=\varphi^{-m}(U)$ 以及 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$. $\Box$
注 (1) 当 $U=0$, $W=V$ 时, 本题就是高代白皮书的例 4.33. 因此, 本题及其证法一和证法二就是高代白皮书的例 4.33 及其证明的推广, 大家可以仔细比较两者之间的类似之处. 第 2 小问的 $m$ 可以取到更加精细的值 (像高代白皮书的例 4.32 那样利用抽屉原理来讨论), 但就本题的结论而言, 并不需要这么精细的讨论.
(2) 采用证法一并且得分在7分以上的同学共20人, 分别为: 厉茗、张冀、蒋安、陈河、夏伟淳、钱东箭、盛志轩、佟佳新、俞姚琳、刘子为、黄尹灿、叶晨、李玥泽、谭依凡、张开润、尤淇正、张若冲、曹文景、刘思科、王雨萌.
(3) 采用证法二并且得分在7分以上的同学共6人, 分别为: 卞诗瑞、陈建翔、苏传恒、吴强、李子灏、朱依宁.
(4) 若取 $U,W$ 的一组基并拼成 $V$ 的一组基, 则 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为分块对角阵 $\mathrm{diag}\{A,B\}$. 因此, 整个证法三有完全对应的代数证法, 或者也可以用上述基向量直接证明直和分解. 采用证法三 (包括代数证法) 并且得分在7分以上的同学共5人, 分别为: 金李洋 (10分)、朱轶磊 (10分)、陈志恒、邹思远、孙进.