二进制与位运算符的理解与应用

关于二进制

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计算机中的任何数据都是二进制形式存储的,需要理解以下几个概念:

1. 原码: 整数按照绝对值的大小转换成的二进制数,称为原码.负数的原码按照绝对值大小转换成的二进制数，然后最高位补1. 如: 7的原码为: 00000000 00000000 00000000 00000111, -7的原码为: 10000000 00000000 00000000 00000111
2. 反码: 正数的反码与原码相同, 负数的反码是在原码的基础上除符号位外各位取反. 比如: 10000000 00000000 00000000 00000111的反码为11111111 11111111 11111111 11111000.
3. 补码: 正数的补码和原码相同, 负数的补码为反码+1;比如: 10000000 00000000 00000000 00000111的补码为11111111 11111111 11111111 11111001. 负数在计算机中是以补码的形式存在的.

可以发现, 正数的原码, 反码, 补码都相同, 这些概念显然是为负数规定的. 所以补码存在的意义是什么呢?
首先要知道, 在计算机中,最大的数+1溢出为0, 根据这个知识, 假设一个正数 n,假设n占一个字节 ,
$已知:0=(11111111+1)\\n | \sim n=11111111,\\n+(-n)=0\\求-n$
$-n=0-n=(11111111+1)-n=(n|\sim n+1)-n=\sim n+1$
所以, 负数可以用对应的正数取反+1表示, 这就是补码.
使用补码，可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。

位运算

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位运算符实际上就是二进制的运算

假设数字占一个字节

1. 与( & )
   比如: 6 & 7
   先将两个十进制的数换算成二进制:
   5: 0000 0101
   9: 0000 1001
   然后将对应位进行与运算, 可得结果为: 0000 0001
   最后再换算为十进制: 1
   即 5 & 9 = 1
2. 或( | )
   和与运算类似, 先将两个十进制的数转换为二进制,再进行或运算.
   如: 5 | 9 = 13
3. 异或( ^ )
   异或: 相同时是false, 不同时是 true.
   如: 5 ^ 9
   转换成二进制后对应位异或得: 0000 1100
   所以 5 ^ 9 = 12
4. 取反( ~ )
   将二进制数中所有位 ( 包括符号位 ) 0变成1,1变成0.
5. 左移( << )
   把所有位向左移动规定的位数, 低位补0.
   如: 9 << 2
   9的二进制: 0000 1001
   得到的二进制数为: 0010 0100
   其值为36
   容易知道 $x<<n=x*2^n$
6. 右移( >> )
   与左移类似, 将所有位向右移动规定的位数, 高位负数补1, 正数补0.
   如: 9 >> 2
   得到的二进制数: 0000 0010, 值为2
   -9>>2
   -9的二进制( 补码 ): 1111 0111
   得到的二进制数: 1111 1101
   原码为: 1000 0011, 值为-3
   容易知道: $x>>n=x/2^n$
7. 无符号右移( >>> )
   与右移的区别在于补位的时候无论正数还是负数,都补0.

位运算符的应用

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使用位运算符常常可以使程序更加炫酷简洁

1. 判断奇偶数
   判断二进制数最后一位是0还是1
   a & 1 == 0时a为偶数
2. 取余
   a对 $2^n$取余,可以 $a$ & $(2^n-1)$结果就是余数.
   原理就是返回 $2^n$位后面的数
   这样取余效率高很多.
3. 求相反数
   ~a + 1
4. 求绝对值
   a >> 31 == 0 ? a : (~a + 1)
   原理就是通过二进制的最高位判断正负.

参考:
位运算符与常用的使用场景