位运算常见操作整理（C++实现）

1的个数

解法 1：

用 n & 1 判断最右边一位是否为 1，右移之后继续判断最右边一位，重复直到 n = 0。时间复杂度为 O(log2n)

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 0b1101, cnt = 0;
    while (n) {
        cnt += n & 1;
        n >>= 1;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

解法 2：

用 n & (n - 1) 可以消去最右边的 1，重复直到 n = 0。时间复杂度为 O(count)，取决于 1 的个数 count，所以这种方法优于第一种。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 0b1101, cnt = 0;
    while (n) {
        n = n & (n - 1);
        ++cnt;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

判断某一位为 1 还是 0

判断从右数起第 k 位，(n >> (k - 1)) & 1

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 0b1101;
    cout << (n >> 1 & 1) << endl;  // 第 2 位为 0
    cout << (n >> 2 & 1) << endl;  // 第 3 位为 1
    return 0;
}

反转某一位

反转从右数起第 k 位，n ^ (1 << (k - 1))

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 0b1101;
    cout << (n ^ (1 << 2)) << endl;  // 反转第 3 位 -> 1001
    cout << (n ^ (1 << 1)) << endl;  // 反转第 2 位 -> 1111
    return 0;
}

一些实用的规律

一个数按位异或同一个数两次（n ^ x ^ x），值不变。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 13, x = 666;
    cout << (n ^ x ^ x) << endl;  // 仍然是 13
    return 0;
}

用按位与代替模，判断奇偶性，效率更高。n & 1 的结果为 0 就是偶数，结果为 1 就是奇数。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    cout << (4 & 1) << endl;
    cout << (5 & 1) << endl;
    return 0;
}

左移 k 位相当于乘 2 的 k 次幂，右移 k 位相当于除以 2 的 k 次幂。在分治策略中很常见，例如归并排序：

#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
using namespace std;

void partition(int a[], int l, int m, int r) {
    int *t = new int[r - l + 1];
    int i = l, j = m + 1, k = 0;
    while (i <= m && j <= r) t[k++] = a[i] < a[j] ? a[i++] : a[j++];
    while (i <= m) t[k++] = a[i++];
    while (j <= r) t[k++] = a[j++];
    for (int i = l; i <= r; ++i) a[i] = t[i - l];
    delete[] t;
}

void merge_sort(int a[], int l, int r) {
    if (l < r) {
        int m = (l + r) >> 1;  // 相当于 (l + r) / 2
        merge_sort(a, l, m);
        merge_sort(a, m + 1, r);
        partition(a, l, m, r);
    }
}

int main() {
    srand(time(0));
    int a[20];
    for (int i = 0; i < 20; ++i) a[i] = rand() % 100;
    merge_sort(a, 0, 19);
    for (int i = 0; i < 20; ++i) cout << a[i] << " ";
    return 0;
}