Chocolate

一、题目

题目描述
一个口袋中装有巧克力，巧克力的颜色有 $c$种。现从口袋中取出一个巧克力，若取出的巧克力与桌上某一已有巧克力颜色相同，则将两个巧克力都取走，否则将取出的巧克力放在桌上。设从口袋中取出每种颜色的巧克力的概率均等。求取出 $n$个巧克力后桌面上剩余 $m$个巧克力的概率。
数据范围
$1\leq c\leq 100,1\leq n,m\leq 1000000$

二、解法

发现最后还在桌面上的巧克力一定是出现奇数次的，我们把奇数和偶数的情况分别表示成母函数（0奇1偶），因为我们还需要考虑排列，相同颜色的排列必须要消去，所以我们把这个任务交给母函数的系数，最后在乘上 $n!$即可：
$f_0(x)=\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+.....$ $f_1(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+.....$我们考虑用自然底数 $e$表示它们的闭形式，先给出一个结论， $e^x=(1+\frac{1}{n})^{nx}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+....$下面给出证明：

结论一： $e^x$等于 $e^x$的求导

先证明等价无穷小，即 $e^x-1=x$（ $x$趋近于 $0$），我们先设 $y=e^x-1$把两边取对数， $x=\ln(y+1)$，因为 $x$趋近于 $0$，所以 $\ln(y+1)$趋近于 $1$，推出 $y$趋近于 $0$，所以 $e^x-1=x$

然后我们暴力对 $e^x$ 求导：
$\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}=\frac{e^x\cdot(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=e^x$运用了等价无穷小，问题得证。

结论二：泰勒展开很香

我们把 $e^x$在 $x=0$出泰勒展开，得到（注， $f(x)=e^x$）：
$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2....$ $f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+......$结合了结论一，故原等式成立。

然后我们可以把奇数和偶数的母函数用 $e^x$表示出来：
$f_0(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ $f_1(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$所以我们要取出 $m$个颜色使它为奇数，取出 $c-m$个颜色使它为偶数，把所有颜色整合后的母函数表示出来：
$G(x)=C_c^m\cdot (\frac{e^x-e^{-x}}{2})^m\cdot(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^{c-m}$ $G(x)=2^{-c}\cdot C_c^m\cdot (e^x-e^{-x})^m\cdot (e^x+e^{-x})^{c-m}$ $G(x)=2^{-c}\cdot C_c^m\sum_{i=0}^m (-1)^i\cdot C_m^i\cdot e^{(m-2i)x}\sum_{j=0}^{c-m}C_{c-m}^j \cdot e^{(m-c-2j)x}$ $G(x)=2^{-c}\cdot C_c^m\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i\cdot C_m^i\cdot C_{c-m}^j\cdot e^{(c-2i-2j)x}$我们把上面的 $e^{(c-2i-2j)x}$暴力展开：
$G(x)=2^{-c}\cdot C_c^m\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i\cdot C_m^i\cdot C_{c-m}^j\cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{((c-2i-2j)x)^k}{k!}$那么我们就可以暴力求第 $n$项的系数 $a_n$：
$a_n=2^{-c}\cdot C_c^m\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^{c-m}(-1)^i\cdot C_m^i\cdot C_{c-m}^j\cdot \frac{((c-2i-2j)x)^n}{n!}$所以答案为：
$\frac{a_n\cdot n!}{c^n}$具体计算时，我们可以把答案的两个数乘到柿子的最后一项中，为了避免精度误差，我们最后在做除法，详见代码。

#include <cstdio>
#define db double
int read()
{
    int num=0,flag=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')num=(num<<3)+(num<<1)+(c^48),c=getchar();
    return num*flag;
}
int c,n,m;
db C[105][105];
db qkpow(db a,int b)
{
	db res=1;
	while(b>0)
	{
		if(b&1) res=res*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
void init(int n)
{
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
			C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
	}
}
signed main()
{
	init(100);
	while(scanf("%d",&c) && c)
	{
		n=read();m=read();
		if((n+m)%2 || m>n || m>c)
		{
			printf("0.000\n");
			continue;
		}
		db ans=0;
		for(int i=0;i<=m;i++)
			for(int j=0;j<=c-m;j++)
				ans+=((i&1)?-1:1)*C[m][i]*C[c-m][j]*qkpow((c-2*i-2*j)*1.0/c,n);
		ans=ans*C[c][m]/qkpow(2,c);
		printf("%.3f\n",ans);
	}
}