东北农业大学2020寒假培训day4 D题思路与思考
先放题目和链接（本人蒟蒻，如有不对还请大佬轻喷，555）
传送门
有n种物品，第i个物品可以选择至少1个至多n个，但要求第i个物品的数量不大于第i+1个物品的数量，求方案种类。
先看题目，然后先思考，n=1时，只有一种情况，1，n=2时，可以是11，12，22，一共3种情况，n=3时，就是111，112，113，122，123，133，222，223，233，333，一共10种情况，想到这里，我觉得我学通了，“这不水题吗？直接按顺序排不就行了吗？”
所以我们直接写一个按顺序排的程序
直接暴力搜索dfs
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int sum=0,n,i;
int dfs(int b,int a)
{
if(b==n)
{
sum++;
return 0;
}
for(int i=a;a>=1;a--)
{
dfs(b+1,a);
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
sum=0;
cin>>n;
dfs(0,n);
cout<<sum<<"\n";
}
return 0;
}
很好，写完了，验证了几组数据，很棒棒，都是对的
开开心心去交代码喽
然后
你就tle了，emmmmmmmmmm
你人傻了，我这没错呀，也没跑死循环呀，
呀嘞呀嘞，不用担心，你的思路和代码的确没错，甚至答案也没错，你只是单纯的时间超了，那么我们可以做什么措施来避免tle呢？
1，改算法
先留着，等下次再说，逃
2，预处理
先分析下，这题的最多耗时是什么情况，T<=15,n<=15，哦豁，你一下就懂了，对的，就是15个15，这种时候你的程序要跑15次完整的非递减排列，时间炸了，再想想，n最多就是15？？？？那我们直接打表呗，先预先跑一次dfs，把每一次的值都存起来，不就行了吗？
说干就干
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[20];
int sum=0,n,i;
int dfs(int b,int a)
{
if(b==i)
{
sum++;
return 0;
}
for(int i=a;a>=1;a--)
{
dfs(b+1,a);
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;
cin>>T;
for( i=1;i<=15;i++)
{
sum=0;
dfs(0,i);
num[i]=sum;
}
while(T--)
{
cin>>n;
cout<<num[n]<<"\n";
}
return 0;
}
或者这个（究极打表）
#include<stdio.h>
int a[20];
int main()
{
a[1]=1;
a[2]=3;
a[3]=10;
a[4]=35;
a[5]=126;
a[6]=462;
a[7]=1716;
a[8]=6435;
a[9]=24310;
a[10]=92378;
a[11]=352716;
a[12]=1352078;
a[13]=5200300;
a[14]=20058300;
a[15]=77558760;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",a[n]);
}
}
那么恭喜你到现在为止，已经ac了这道题了，棒棒的！！
发散思维：那么n很大，咋办
我们继续回看这题，我们在打表之前，我们看看我们这个dfs，我们可以很轻松的发现一个问题，当n在扩大时，其实dfs有几个是必然会跑的，比如dfs（1，1），不论你n多大，你都必然会跑，那么我们在dfs跑的时候加一个输出他自己本身，来看一看
我们可以轻易的发现，不仅仅是dfs(1，1），当n=2时，dfs(2,1)跑了2次，当n=3时，dfs(3,2)跑了3次，dfs(2,2),dfs(2,1)等等，都跑了不止一次，**那么他们的值一样吗？？？？**为了方便查看是否一样，我们稍微改动下代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i;
int dfs(int b,int a)
{
int chuli[a+1];
memset(chuli,0,sizeof(chuli));
if(b==n)
{
return 1;
}
for(int i=a;i>=1;i--)
{
chuli[i]=dfs(b+1,i);
}
for(int i=1;i<=a;i++)
{
chuli[0]+=chuli[i];
}
return chuli[0];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n;
cout<<dfs(0,n)<<"\n";
}
return 0;
}
在这次的代码里，我们去掉了sum作为外部变量，现在我们的程序已经不依赖任何外部变量了！！！！
ok ok 趁现在，我们看下dfs(x,y)都是多少吧
震惊！！！！对于相同的dfs(x,y)，他的值！！！居然是完全相同的，道理也很简单，我们现在的dfs已经不依赖任何外部变量了，自然每次都一样，所以！！！！我们可以开一个数组mem，记录每一次dfs(x,y)的返回值，一开始全设为 -1 (未访问)，每次进入dfs前，先看看mem对应的值是否为 -1，是的话就正常跑dfs，假如不是 -1 呢？？？
那就直接返回mem中的值！！！！！！！！！！！！！！！！
那么看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,i;
int mem[20][20];
int dfs(int b,int a)
{
if(mem[b][a]!=-1)
return mem[b][a];
int chuli[a+1];
memset(chuli,0,sizeof(chuli));
if(b==n)
{
return 1;
}
for(int i=a;i>=1;i--)
{
chuli[i]=dfs(b+1,i);
}
for(int i=1;i<=a;i++)
{
chuli[0]+=chuli[i];
}
return chuli[0];
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
memset(mem,-1,sizeof(mem));
cin>>n;
cout<<dfs(0,n)<<"\n";
}
return 0;
}
但是，放心吧，这个过不去的，绝对会T的，不用试都知道（因为我还没优化结构，嘘，悄悄地）
（并且这个n就到15，我能咋办，就比如说我说计算器nb，但你非要跟我比试1+1=2是口算快还是敲计算器快一样，估计我还没敲，你就知道了）
但但是，恭喜你现在已经知道了记忆化搜索的基本步骤了（话说我前面是不是压根没提 ）
假如这题数据范围稍大一些，比如n到100，1000，打表就开始显得不现实了，这个时候，你的方法就可以显出他的用处了
那么我们总结下什么是记忆化搜索
1.不依赖外部变量
2.以自己返回值作为答案
3.对于同一组参数，dfs返回值总是相同
总结：记忆化搜索就是：利用相同参数答案相同的特性，对相同的参数，记录其答案，避免重复计算，优化时间复杂度
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歌曲推荐： 这首歌真的8错，前几天随机听歌听到的，特别是2：10秒后那一段旋律，非常8错，唯一的问题，我学不来他那个整句连读。。。。。
逃。。。。。。（话说我是不是忘记写dp了）（算了，下次吧）
