「题解」Just A String

题目

原题目

点这里

简易题意

现定义一个合法的字符串满足将其打散并任意组合之后能够形成回文串。

给你 \(m\) 种字母，问随机构成长度为 \(n\) 的字符串的合法子串的个数期望。

对于答案期望 \(E\) ，现要求输出 \(E\cdot m^n\pmod{1000000007}\) 的值。

思路及分析

首先发现答案的输出要求很怪——要求输出 \(E\cdot m^n\pmod{1000000007}\) 的值。

对其进行分析：

假如我们有 \(k\) 个合法子串，那么 \(E=\frac{k}{m^n}\) ，而答案为 \(E\cdot m^m=\frac{k}{m^n}m^n=k\) 。

换句话说，题目要求：

在用 \(m\) 种字符构造的长度为 \(n\) 的串中合法子串的个数，对其取模 \(10^9+7\) 之后输出。

考虑枚举子串长度 \(k\) ，思考如何构造母函数。

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• 对于 \(2\nmid k\) 的情况。

是一定有且仅有一种字符出现了奇数次，其余字符出现偶数次，那么其母函数就为
\[ \left (\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right )^{m-1}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2} \]
考虑选择 \(m\) 个字符中的 \(1\) 个，方案数为 \(C_m^1\) ，那么其真正的母函数为
\[ C_m^1\cdot \left (\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right )^{m-1}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}=m\cdot \left (\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right )^{m-1}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2} \]
二项式展开，可得
\[ m\cdot \left (\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right )^{m-1}\cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}=m\cdot 2^{-m}\cdot \left( \sum_{i=0}^{m-1}C_{m-1}^ie^{(2i-m+2)x}-e^{(2i-m)x} \right) \]
将 \(e^k\) 还原，可得原式为
\[ m\cdot 2^{-m} \sum_{i=0}^{m-1}C_{m-1}^i\left( \sum_{j=0}^\infty \frac{(2i-m+2)^j-(2i-m)^j}{j!}x^j\right) \]
那么，第 \(k\) 项的系数 \(a_k\) 的等式就为
\[ a_k=m\cdot 2^{-m}\cdot \sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i \frac{(2i-m+2)^k-(2i-m)^k}{k!} \]
由于我们最后还要乘以全排，即 \(k!\) ，所以 \(a_k\) 里面的 \(k!\) 可以直接消掉，即
\[ a_k=m\cdot 2^{-m}\cdot \sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i[(2i-m+2)^k-(2i-m)^k] \]

而我们还要考虑这个长度为 \(k\) 的合法子串在最大的长度为 \(n\) 的串中出现的次数，而剩下的 \(n-k\) 个位置都是随便取字符，所以最后我们要求的是
\[ a_k\cdot m^{n-k}\cdot (n-k+1) \]
这是长度为奇数的情况。

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• 对于 \(2\mid k\) 的情况。

这种情况下，所有的字符出现次数都为偶数次，所以母函数较好构造，为
\[ \left ( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right )^m \]
同理，将其大力展开，可得
\[ 2^{-m}\cdot \left ( \sum_{i=0}^{m}C_m^i\cdot e^{(2i-m)x} \right ) \]
将 \(e^{(2i-m)x}\) 还原，可得
\[ 2^{-m}\cdot \sum_{i=0}^{m}C_m^i\left ( \sum_{j=0}^\infty \frac{(2i-m)^j}{j!}x^j \right ) \]
所以，第 \(k\) 项系数 \(b_k\) 为
\[ b_k=2^{-m}\sum_{i=0}^{m}C_m^i\frac{(2i-m)^k}{k!} \]
因为我们最后乘以 \(k!\) ，所以 \(b_k\) 中的 \(k!\) 可以消掉，即
\[ b_k=2^{-m}\sum_{i=0}^{m}C_m^i(2i-m)^k \]
而我们最后要求
\[ b_k\cdot m^{n-k}\cdot (n-k+1) \]

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代码

这是一发 TLE 的代码，但是我不想改了...

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#pragma GCC optimize("-fgcse")
#pragma GCC optimize("-fgcse-lm")
#pragma GCC optimize("-fipa-sra")
#pragma GCC optimize("-ftree-pre")
#pragma GCC optimize("-ftree-vrp")
#pragma GCC optimize("-fpeephole2")
#pragma GCC optimize("-ffast-math")
#pragma GCC optimize("-fsched-spec")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-jumps")
#pragma GCC optimize("-falign-loops")
#pragma GCC optimize("-falign-labels")
#pragma GCC optimize("-fdevirtualize")
#pragma GCC optimize("-fcaller-saves")
#pragma GCC optimize("-fcrossjumping")
#pragma GCC optimize("-fthread-jumps")
#pragma GCC optimize("-funroll-loops")
#pragma GCC optimize("-fwhole-program")
#pragma GCC optimize("-freorder-blocks")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns")
#pragma GCC optimize("inline-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-tail-merge")
#pragma GCC optimize("-fschedule-insns2")
#pragma GCC optimize("-fstrict-aliasing")
#pragma GCC optimize("-fstrict-overflow")
#pragma GCC optimize("-falign-functions")
#pragma GCC optimize("-fcse-skip-blocks")
#pragma GCC optimize("-fcse-follow-jumps")
#pragma GCC optimize("-fsched-interblock")
#pragma GCC optimize("-fpartial-inlining")
#pragma GCC optimize("no-stack-protector")
#pragma GCC optimize("-freorder-functions")
#pragma GCC optimize("-findirect-inlining")
#pragma GCC optimize("-fhoist-adjacent-loads")
#pragma GCC optimize("-frerun-cse-after-loop")
#pragma GCC optimize("inline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-finline-small-functions")
#pragma GCC optimize("-ftree-switch-conversion")
#pragma GCC optimize("-foptimize-sibling-calls")
#pragma GCC optimize("-fexpensive-optimizations")
#pragma GCC optimize("-funsafe-loop-optimizations")
#pragma GCC optimize("inline-functions-called-once")
#pragma GCC optimize("-fdelete-null-pointer-checks")

#include<cstdio>

#define rep(i,__l,__r) for(register int i=__l,i##_end_=__r;i<=i##_end_;++i)
#define fep(i,__l,__r) for(register int i=__l,i##_end_=__r;i>=i##_end_;--i)
#define writc(a,b) fwrit(a),putchar(b)
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define ft first
#define sd second
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define uint unsigned int
#define pii pair<int,int>
#define Endl putchar('\n')
// #define FILEOI
// #define int long long

#ifdef FILEOI
    #define MAXBUFFERSIZE 500000
    inline char fgetc(){
        static char buf[MAXBUFFERSIZE+5],*p1=buf,*p2=buf;
        return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,MAXBUFFERSIZE,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
    }
    #undef MAXBUFFERSIZE
    #define cg (c=fgetc())
#else
    #define cg (c=getchar())
#endif
template<class T>inline void qread(T& x){
    char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    if(f)x=-x;
}
inline int qread(){
    int x=0;char c;bool f=0;
    while(cg<'0'||'9'<c)f|=(c=='-');
    for(x=(c^48);'0'<=cg&&c<='9';x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48));
    return f?-x:x;
}
template<class T,class... Args>inline void qread(T& x,Args&... args){qread(x),qread(args...);}
template<class T>inline T Max(const T x,const T y){return x>y?x:y;}
template<class T>inline T Min(const T x,const T y){return x<y?x:y;}
template<class T>inline T fab(const T x){return x>0?x:-x;}
inline int gcd(const int a,const int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline void getInv(int inv[],const int lim,const int MOD){
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=lim;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}
template<class T>void fwrit(const T x){
    if(x<0)return (void)(putchar('-'),fwrit(-x));
    if(x>9)fwrit(x/10);putchar(x%10^48);
}
inline LL mulMod(const LL a,const LL b,const LL mod){//long long multiplie_mod
    return ((a*b-(LL)((long double)a/mod*b+1e-8)*mod)%mod+mod)%mod;
}

const int MAXN=2000;
const int MOD=1e9+7;

int C[MAXN+5][MAXN+5];
int inv2,inv2_fac[MAXN+5];
int Pow[MAXN*2+5][MAXN+5];
int n,m,T;

inline int qkpow(int a,int n){
    if(n<=MAXN)return Pow[a+2000][n];
    int ret=1;
    for(;n>0;n>>=1,a=1ll*a*a%MOD)if(n&1)ret=1ll*ret*a%MOD;
    return ret;
}

inline void init(){
    rep(i,0,MAXN*2+2)rep(j,0,MAXN){
        if(j==0)Pow[i][j]=1;
        else Pow[i][j]=1ll*Pow[i][j-1]*(i-2000)%MOD;
    }
    inv2=qkpow(2,MOD-2);
    inv2_fac[0]=1;
    C[0][0]=1;
    rep(i,1,MAXN){
        inv2_fac[i]=1ll*inv2_fac[i-1]*inv2%MOD;
        C[i][0]=C[i][i]=1;
        rep(j,1,i){
            C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];
            if(C[i][j]>MOD)C[i][j]-=MOD;
        }
    }
}

int ans1,ans2,ans;

signed main(){
#ifdef FILEOI
    freopen("file.in","r",stdin);
    freopen("file.out","w",stdout);
#endif
    init();
    qread(T);
    while(T--){ans=0;
        qread(n,m);
        rep(k,1,n){
            if(k&1){
                ans1=1ll*inv2_fac[m]*(n-k+1)*qkpow(m,n-k+1)%MOD,ans2=0;
                rep(i,0,m-1)ans2=(0ll+ans2+1ll*C[m-1][i]*(qkpow((i<<1)-m+2,k)-qkpow((i<<1)-m,k)))%MOD;
                ans1=1ll*ans1*ans2%MOD;
            }
            else{
                ans1=1ll*inv2_fac[m]*(n-k+1)*qkpow(m,n-k)%MOD,ans2=0;
                rep(i,0,m)ans2=(0ll+ans2+1ll*C[m][i]*qkpow((i<<1)-m,k))%MOD;
                ans1=1ll*ans1*ans2%MOD;
            }
            ans=(0ll+ans+1ll*ans1*2)%MOD;
            if(ans<0)ans+=MOD;
            else if(ans>MOD)ans-=MOD;
        }
        writc(ans,'\n');
    }
    return 0;
}