一本通-P1798-递推数列

题目链接

这道题目提示你要使用到乘法逆元，那我们就可以设

\(f(i)=\frac{h(i)}{g(i)}\)(\(h(i)\)和\(g(i)\)为\(f(i)\)的最简形式)

则我们就可以把题目给出的递推式，可以装换为

\[f(i)= \frac{a * f(i-1) +b}{c * f(i-1)+d} \]
\[=\frac {a * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}+b}{c * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}+d}\]
\[= \frac {(a * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}+b)* g(i-1)}{(c * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}+d)* g(i-1)}\]
\[=\frac {a * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}* g(i-1)+b* g(i-1)}{c * \frac{h(i-1)}{g(i-1)}* g(i-1)+d* g(i-1)}\]
\[=\frac {a * h(i-1)+b* g(i-1)}{c * h(i-1)+d* g(i-1)}\]

则我们可以推出
\[h(i)=a * h(i-1)+b* g(i-1)\]
\[g(i)=c * h(i-1)+d* g(i-1)\]
初始矩阵为
\[\begin{bmatrix} & h(0)&g(0) & \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}& f(0)&1 & \end{bmatrix}\]
转移矩阵为
\[\begin{bmatrix} & a&c & \\\\ & b&d & \end{bmatrix}\]

代码如下

#include<stdio.h>
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#define re register
using namespace std;
namespace IO
{
    template<typename T>
    inline void read(T & x)
    {
        x=0;
        bool b=false;
        char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)&&ch^'-')
            ch=getchar();
        if(ch=='-')
        {
            b=true;
            ch=getchar();
        }
        while(isdigit(ch))
        {
            x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
            ch=getchar();
        }
        if(b)
            x=~x+1;
        return;
    }
    char Out[(int)2e5+10],*fe=Out,ch[25];
    int num=0;
    template<typename T>
    inline void write(T x)
    {
        if(!x)
            *fe++='0';
        if(x<0)
        {
            *fe++='-';
            x=-x;
        }
        while(x)
        {
            ch[++num]=x%10+'0';
            x/=10;
        }
        while(num)
            *fe++=ch[num--];
        *fe++='\n';
    }
    inline void flush()
    {
        fwrite(Out,1,fe-Out,stdout);
        fe=Out;
    }
}
using namespace IO;
int f,a,b,c,d,p;
int T;
long long n;
struct matrix
{
    int n,m;
    int g[3][3];
    inline void init(int _n,int _m)
    {
        n=_n;
        m=_m;
        memset(g,0,sizeof(g));
        return;
    }
    inline matrix operator *(const matrix &b)
    {
        matrix res;
        res.init(n,b.m);
        for(re int i=1; i<=res.n; i++)
            for(re int j=1; j<=res.m; j++)
                for(re int k=1; k<=b.n; k++)
                    res.g[i][j]=(res.g[i][j]+1ll*g[i][k]*b.g[k][j])%p;
        return res;
    }
    template<typename T>
    inline matrix operator ^ (T b)
    {
        matrix res,a=(*this);
        res.init(2,2);
        res.g[1][1]=res.g[2][2]=1;
        while(b)
        {
            if(b&1)
                res=res*a;
            a=a*a;
            b>>=1;
        }
        return res;
    }
} A,B;
inline void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=a/b*x;
}
int main()
{
    IO::read(T);
    while(T--)
    {
        read(f);
        read(a);
        read(b);
        read(c);
        read(d);
        read(n);
        read(p);
        f=(f%p+p)%p;
        a=(a%p+p)%p;
        b=(b%p+p)%p;
        c=(c%p+p)%p;
        d=(d%p+p)%p;
        A.init(1,2);
        A.g[1][1]=f;
        A.g[1][2]=1;
        B.init(2,2);
        B.g[1][1]=a;
        B.g[2][1]=b;
        B.g[1][2]=c;
        B.g[2][2]=d;
        A=A*(B^n);
        int d,x,y;
        exgcd(A.g[1][2],p,d,x,y);
        x=(x%p+p)%p;
        write(1ll*A.g[1][1]*x%p);
    }
    flush();
    return 0;
}