在平面四边形 \(ABCD\) 中,已知 \(\triangle ABC\) 的面积是 \(\triangle ACD\) 的面积的 \(3\) 倍,若存在正实数 \(x,y\),使得 \(\overrightarrow{AC}=\left(\dfrac{1}{x}-3\right)\overrightarrow{AB}+\left(1-\dfrac{1}{y}\right)\overrightarrow{AD}\) 成立,则\(x+y\)的最小值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
如图,连接\(BD\)交\(AC\)于点\(G\),分别过\(B,D\)作\(AC\)的垂线,
垂足分别为 \(F,E\).由题易知 \(BF:DE=3:1\),从而 \(BG:DG=3:1\),所以 \[ \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}.\]又因为 \(\overrightarrow{AC}\)向量与 \(\overrightarrow{AG}\)向量同向,因此 \[ \left(\dfrac{1}{x}-3\right):\left(1-\dfrac{1}{y}\right)=1:3,\]即有 \[ \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=10,x,y>0. \]
从而 \[10=\dfrac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{x}+\dfrac{1}{y}\geqslant \dfrac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{x+y}.\]
所以 \(x+y\geqslant \dfrac{\sqrt{3}+2}{5}\).等号当且仅当 \[ (x,y)=\left(\dfrac{3+\sqrt{3}}{10},\dfrac{\sqrt{3}+1}{10}\right)\]时取得,因此,所求表达式的最小值为 \(\dfrac{\sqrt{3}+2}{5}\).