边长为\(1\)的正方形\(ABCD\)的顶点\(A,D\)分别在\(x\)轴,\(y\)轴的正半轴上滑动,则\(\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}\)的最大值为\(\underline{\qquad\qquad}\).
解析:
如图,记\(E,F\)分别为\(AD,BC\)的中点,
于是
\[ \begin{split} \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}&=\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FB}\right)\\ &=|OF|^2-|FB|^2\\ &=|OF|^2-\dfrac{1}{4}\\ &\leqslant\left(|OE|+|EF|\right)^2-\dfrac14\\ &= 2. \end{split} \]
当且仅当 \(E\)点位于 \(OF\)线段上时,上述不等式取等,因此所求表达式的最大值为 \(2\).