51nod 1835 完全图

题意

给定一个 \(N\) 个点的完全图，现在要移除至少一条边，问移除后恰好有 \(M\) 个联通块的方案数是多少

\(N,M \leq 300\)

解法

可以发现每一种删边方案都对应着一种加边方案，又给出的图是完全图，那么实际上就是要求我们求出 \(N\) 个点可以形成的联通块的个数

数据范围明示了是 \(N^3\) 可以解决的问题，我们设 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 个点形成 \(j\) 个联通块的方案数

枚举新添加的元素所在的集合大小 \(k\)，那么 $f_{i, j} = f_{i-k, j-1} \times f_{k, 1} \times {i-1\choose k-1} $

组合数是由于方案中的点是带标号的

\(k\) 是新的联通块大小，枚举范围是 \(1 \to i-j+1\)。 \(j=1\) 时我们发现无法转移，需要单独计算

那么 \(N\) 个点形成的联通块方案是什么呢？考虑简单的容斥，任意连边的方案共有 \(2^{\frac{N(N-1)}{2}}\) 种，那么 \(f_{n,1}-\sum f_{n, i}\)

代码

#include <cstdio>

using namespace std;

#define int long long

const int MAX_N = 510;
const int mod = 998244353;

int N, M;

int C[MAX_N][MAX_N], pw[MAX_N * MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N];

void init() {
    int lim = 500;
    for (int i = 0; i <= lim; ++i) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j)  C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
    pw[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= lim * lim; ++i)  pw[i] = (pw[i - 1] * 2LL) % mod;
}

signed main() {

    scanf("%lld%lld", &N, &M);

    init();

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) { 
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            for (int k = 1; k <= i - j + 1; ++k)  (f[i][j] += 1LL * C[i - 1][k - 1] * f[i - k][j - 1] % mod * f[k][1] % mod) %= mod;
        f[i][1] = pw[i * (i - 1) / 2];     
        for (int j = 2; j <= i; ++j)  (f[i][1] += mod - f[i][j]) %= mod;
    }

    if (M == 1)  printf("%lld\n", f[N][M] - 1);
    else printf("%lld\n", f[N][M]);

    return 0;
}