生成函数

定义

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生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。
生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种，其中普通型用的比较多。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。
最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”，书中对生成函数思想奠基人——Euler L在18世纪对自然数的分解与合成的研究做了延伸与发展。生成函数的理论由此基本建立。
另外生成函数也广泛应用于编程与算法设计、分析上，运用这种数学方法往往对程序效率与速度有很大改进。

例如我们有一个数组{an}=a1,a2,a3……我们设他的生成函数为

$$G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+......=\sum^{n}_{k=0}a_kx^k$$
其中x只是形式上的变量，其实上面就是一个多项式，如果 $a_n≠0$，那么这就是一个n次多项式。

例子

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我们举一个简单的例子，对于一个无穷数列{1，1，1，1，1……}的生成函数为$A(x)=1+x+x^2+x^3+......=\frac{1}{1-x}$。为了研究方便，通常假定生成函数是收敛的。即对于本例，我们假定$|x|<1$。

我们这里引入一个二项式定理：

$$(x+y)^n=\sum^{n}_{k=0}C^k_n x^ky^{n-k}$$

那么我们该如何用组合的角度来理解这个式子

应用

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甲、乙、丙分别有3,4,6个苹果，李华要拿取8个，且只能从甲、乙那里拿奇数个，从丙那里拿偶数个（包含0），请问有多少种取法？
在学过多项式之前，我们只能用组合数学来做这题，但是会非常非常的麻烦。
那么我们考虑引入多项式：$(x+x^3)(x+x^3)(1+x^2+x^4+x^6)$
其中第一个括号代表甲第二个代表乙第三个代表丙，x的幂数代表要取的个数。
那么仔细一想是不是只要将多项式展开，$x^8$的系数就是方案数。
是不是很奇妙！！！！
什么？？你问怎么展开？？？
等比数列求和会不会，什么不会？？？高中会学的，自己去看……QWQ

再来一题好不啦
从苹果、香蕉、橘子和梨中拿一些水果出来（允许某种拿0个），要求苹果只能拿偶数个，香蕉的个数是5的倍数，橘子最多拿4个，梨要么不拿，要么只能拿一个。求拿n个水果的方案数。

自己根据上面的方法写出多项式并化简
最后得到：

$$1+2x+3x^2+4x^3+......=\sum^{∞}_{k=0}(k+1)x^k$$
即方案数就是（n+1）种 惊不惊喜 意不意外

tips：有一些无法用数列化简的可以用求导化简（等式两边同时求导，等式仍然成立）