转眼就快联赛了，把筛法总结一下吧。
目前会的只有三个，埃筛，线筛，杜教筛。
怎么说这个东西。其实非常灵活。
首先我们知道筛法大多数用来筛积性函数，所以而积性函数和质数关系很大，所以先说一下怎么筛质数吧。
1.质数筛
$fr.$根号$n$暴力判断。
相当与在枚举因数，如果这个数没有非平凡因子（$n$除了$1,n$之外的因子），那么这个数是质数。
复杂度:$O(\sqrt{n})$
$se.$埃筛
枚举每一个数，用它的倍数来筛掉合数。
复杂度是：$O(nlnln n)$
$th.$线筛
枚举每一个质数，和 合数或质数相乘 筛掉合数，保证是被筛掉的合数的最小质因子，这样每个数被筛掉一次，枚举到一次。
复杂度是:O(n)
质数筛就这些了。
然后筛一些积性函数的单点，一般都用线筛了。
线筛为了保证复杂度，筛的时候要分三种情况讨论。
下面举几个例子来说明：
1.欧拉函数
$$\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i\perp n]$$
考虑每一个质因子的贡献。
设$n=\_*p^c$
对于每个$p^c$来说，对答案的贡献就是$p^c\frac{p-1}{p}$,感性理解一下其实相当与一个类似“互质密度”的东西，也就是说在每一个$p$大小的区间中，互质的数的分布是均匀的。
欧拉函数是积性函数，那么：
$$\varphi(n)=\prod\ p^c\frac{p-1}{p}=n\prod\frac{p-1}{p}$$
我们来线筛它。
$fr.i\in\ p$那么$\varphi(i)=i-1$
$se.i%p_j!=0$那么根据积性函数性质，$\varphi(ip_j)=\varphi(i)\varphi(p_j)$
$th.i%p_j==0$根据公式代入，发现新近的质数只对公式最前面的$n$有贡献，而$\prod$后面的部分已经被计算了。
那么：$\varphi(ip_j)=\varphi(i)p_j$
2.约数个数
设$n=\_*p^c$
根据定义，枚举每个质因子在约数中的指数得到：
$d(n)=\prod c+1$
可以发现是积性函数。
我们来线筛它。
首先加入一个辅助数组$a(i)$表示$i$最小的质因子在$i$中的指数。
$fr.i\in\ p$那么$d(i)=2,a(i)=1$
$se.i%p_j!=0$根据积性函数的性质，$d(ip_j)=d(i)d(p_j),a(ip_j)=1$
$th.i%p_j==0$根据公式代入，$d(ip_j)=d(i)\frac{(a(i)+1)}{(a(i)+2)},a(ip_j)=a(i)+1$
3.自然数幂函数
$$f_d(i)=i^d$$
这是完全积性函数。
其实要简单很多了就。
还是套用线筛的模板，然后每乘入一个质数的时候。
$$f_d(ip_j)=f_d(i)p_j^d$$
每次筛出质数的时候用快速幂求出$p_j^d$，复杂度是$O(n\frac{log_2(n)}{ln(n)})$的，仍然是线性。
4.莫比乌斯函数
$$\mu(n)=\begin{cases} (-1)^w &\ n=\prod\limits_{i=1}^{w}p_i&\\0 &\ n=p^2\prod\limits_{i=1}^{w}p_i^{c_i}&\end{cases}$$
它是积性函数
我们来线筛它。
$fr.i\in\ p$那么$\mu(i)=-1$
$se.i%p_j!=0$那么$\mu(ip_j)=\mu(i)\mu(p_j)$
$th.i%p_j==0$那么$\mu(ip_j)=0$
5.约数和函数
根据定义，枚举每个质因子在约数中出现的指数。
设$n=\_*p^c$
$$\sigma(n)=\prod\sum\limits_{i=0}^{c}p^i$$
发现是等比数列可以直接求和。
$$\sigma(n)=\prod\frac{1-p^c}{1-p}$$
那么我们需要维护一个函数$b(n)$代表$n$最小的质因子的最大指数次幂，也就是说对于$n$的最小质因子$p$,$b(n)=\sum\limits_{i=0}^{c}p^i$,同时需要借用上面筛过的函数$f_d(n)$和$a(n)$。
我们来线筛它。
$fr.i\in\ p$那么$b(i)=i+1,\sigma(i)=i+1$
$se.i%p_j!=0$那么$b(ip_j)=p_j+1,\sigma(ip_j)=\sigma(i)\sigma(p_j)$
$th.i%p_j==0$那么$b(ip_j)=b(i)+f_{a(ip_j)}{p_j},\sigma(ip_j)=\sigma(i)\frac{b(i)}{b(ip_j)}$
6.最大共因数
也就是在$k$一定的情况下求：
$gcd(n,k)=\prod\limits_{p}p^{min(c_n,c_k)}$
可以发现是积性函数。
仍然利用函数$a(n)$，设函数$g_n(p)$为$n$中质因子$p$的最大幂指数。
我们来线筛它。
$fr.i\in\ p$那么$gcd(i,k)=i[i|n]+[i\perp n]$
$se.i%p_j!=0$那么$gcd(ip_j,k)=gcd(i,k)gcd(p_j,k)$
$th.i%p_j==0$那么$gcd(ip_j,k)=gcd(i,k)(p_j[a(i)<g_n(p_j)]+[a(i)>g_n(p_j)])$
线筛复杂度已经很优秀了，可是就是有毒瘤出题人出数据出到$1e12$，这时候杜教筛就出场了。
杜教筛用来筛特定积性函数的前缀和。
设目标函数为$f$，其前缀和为$S$
$*$为狄利克雷卷积，相关证明在约数容斥有所交待。
首先设函数：
$$h=g*f$$
那么:
$$\begin{array}{rcl}\\ \sum\limits_{i=1}^{n}h(i)&=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\&=&\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i)\\&=&\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})\end{array}$$
移项得到：
$$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)-\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$
这样的话如果我们的$h$和$g$的前缀和很好求，后面的部分就可以用数论分块来解决了。