写在前面
\(kmp\)模式匹配算法是一种能够在线性时间内判断字符串\(A\)是否是字符串\(B\)的子串的算法，并且优于哈希地，能够求出每个子串出现的位置。
我们一般称字符串\(A\)为模式串，字符串\(B\)为文本串。
next数组
\(kmp\)算法的核心步骤即为对模式串进行自我匹配求出\(next\)数组。
\(next[i]\)表示以i结尾的非前缀子串与前缀能够匹配的最大长度，简单地说，就是模式串的前i位构成的子串的前缀后缀最大匹配长度，同时满足这个长度不等于i。比如对于某一个模式串\(A="abababa"\)，当\(i=6\)时显然有如下两种可能的匹配：
\[ -~-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ |~a~~~b~~~a~~~b~~~a~~~b~|~a\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~--\\ -~--~-~~~~~~~~~~~~\\ |~a~~~b~~~a~~~b~~~a~~~b~|~a\\ ~~~~~~--~-~-\\ \]
所以得出\(next[6]=4\)。
朴素的算法复杂度显然为\(O(n^2)\)，并不比暴力优秀。
因此考虑优化这个过程，首先证明如下引理：
引理-1
引理：如果\(j\)是\(next[i]\)的一个可能取值，那么\(next[j]\)为小于j的最大的\(next[i]\)的可能取值。换言之，如果\(j\)不成立，那么可以直接跳过中间检查\(next[j]\)。
证明：假设在\([next[j],j]\)上存在一个\(k\)为\(next[i]\)的可能取值，也就是说有\(A[i-k+1\sim i]=A[i\sim k]\)。因为\(A[i-j+1\sim i]=A[1\sim j]\)，所以显然有\(A[i-k+1\sim i]=A[j-k+1\sim j]\)（取后面一段），于是可以得出\(A[1\sim k]=A[j-k+1\sim j]\)，那么说明\(k\)为成立并且比现在的\(next[j]\)更优的值，显然矛盾！
因此推出结论，\(next[j]\)为小于\(j\)的最大\(next[i]\)可能取值。
优化的算法
回到原先的求next数组流程，既然我们有了引理-1，很容易想到每一次不能扩展的时候，都直接将j设为next[j]即可。
代码如下，不难证明这个算法有线性复杂度。
for (register int i=2,j=0; i<=n; ++i) {
while (j&&s[i]!=s[j+1]) j=next[j];
if (s[i]==s[j+1]) ++j;
next[i]=j;
}匹配
匹配的过程与求\(next\)数组相似，不难看出，当\(j==A\)的长度时即找到了匹配点。
代码如下：
for (register int i=1,j=0; i<=m; ++i) {
while (j==n||(j&&s[j+1]!=t[i])) j=next[j];
if (s[j+1]==t[i]) ++j;
if (j==m) return i-m+1;
}