Promblem A 小G的字符串
给定$n,k$,构造一个长度为$n$,只能使用$k$种小写字母的字符串。
要求相邻字符不能相同且$k$种字母都要出现
输出字典序最小的字符串，无解输出$-1$。
对于$100\%$的数据满足$\leq n \leq 10^5$
Solution ：
我们考虑构造，显然是形如$a,b,a,b,...,c,d...$的字符串。
即从$[1,n-k+2]$交替填$a,b$，然后$[n-k+3,n]$依次填$c,d,e ... $
这样构造的时间复杂度是$O(n)$
# pragma GCC optimize(3) # include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+10; char ans[N]; int n,k; int main() { freopen("str.in","r",stdin); freopen("str.out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&k); if (k == 1 && n == 1) { puts("a"); return 0; } if (k > n || k ==1) { puts("-1"); return 0; } char now='c'; for (int i=n-k+3;i<=n;i++) ans[i]=now++; int op = 0; for (int i=1;i<n-k+3;i++,op=1-op) ans[i]='a'+op; for (int i=1;i<=n;i++) putchar(ans[i]); puts(""); return 0; }
Promblem B 小G的城堡
给定$n,k$，构造一幅有向图，每个点出度为$1$。
使$[1,k]$的点都能走到$1$，$[k+1,n]$的点都不能走到$1$
输出方案数$mod \ 10^9 + 7$的值。
对于$100\%$的数据满足$n\leq 10^{18} , k \leq \min\{n,8\}$
Solution ：
我们将点分为$[1,k]$和$[k+1,n]$两部分来考虑。
第$1$部分的点进行连边，使得所有点都能走到$1$，对于上述数据范围直接$dfs$即可(事实上答案为$k^{k-1}$)。
第$2$部分的点随意连边即可，显然方案数$(n-k) ^ {n-k}$ 。
所以最后的答案就是$k^{k-1} (n-k)^{n-k}$。
时间复杂度就是$O(log_2 n )$。
# pragma GCC optimize(3) # include<bits/stdc++.h> # define int long long using namespace std; const int mo=1e9+7; const int d[] = {0,1,2,9,64,625,7776,117649,2097152}; int Pow(int x,int n) { int ans=1; while (n) { if(n&1) ans=ans*x%mo; x=x*x%mo; n>>=1; } return ans%mo; } signed main() { freopen("castle.in","r",stdin); freopen("castle.out","w",stdout); int n,k; cin >> n >> k; int ans = Pow((n-k)%mo,n-k) * d[k] % mo; cout<<ans<<'\n'; return 0; }
Promblem C 小G坐电梯
在长度为$n$的数轴上起点为$A$，限制点为$B$(限制点不能被经过)
你可以走$k$步，每次从$x$点走到$y(x \neq y)$点需要满足$x$到$y$的距离小于$x$到$B$的距离。
求走的方案数$mod \ 10^9 + 7$的值
对于$100\%$的数据满足$n ,k \leq 5000 $
Solution ：
可以考虑一个$O(n^2k)$的暴力dp，设$f[i][j]$表示当前第$i$次走动后处在第$j$个位置，方案数。
考虑刷表，$f[i][j]$能转移到$f[i+1][k]$的条件是$k\neq j$且$|j-k|<|j-B|$,有转移$f[i+1][k]+=f[i][j]$
本题的状态数$O(n^2)$，考虑优化转移.
容易发现，每一次的刷表转移是一个区间加的过程，需要在最后维护每个单点的值。
也就说，当前状态为$(i,j)$, 对于 $k \in [\max\{j-|j-B|+1,1\} , \min\{n,j+|j-B|-1\}] , k \neq j$ 的 $f[i+1][k]$ 都可以被转移到,即区间加$f[i][j]$。
直接差分就好了。
于是转移就变成均摊$O(1)$的。
总时间复杂度为$O(nk)$
# pragma GCC optimize(3) # include <bits/stdc++.h> # define int long long using namespace std; const int N=5e3+10; const int mo=1e9+7; int n,A,B,k; int f[N],c[N]; signed main() { freopen("lift.in","r",stdin); freopen("lift.out","w",stdout); cin >> n >> A >> B >> k; f[A]=1; for (int i=0;i<k;i++) { for (int j=1;j<=n;j++) c[j]=0; for (int j=1;j<=n;j++) { int ret = abs(j-B); int l = max(j-ret+1,1ll),r = min(n,j+ret-1); (c[l]+=f[j])%=mo; (c[r+1]+=mo-f[j])%=mo; if (j>=l&&j<=r) (c[j]+=mo-f[j])%=mo,(c[j+1]+=f[j])%=mo; } for (int j=1;j<=n;j++) (c[j]+=c[j-1])%=mo,f[j]=c[j]; } int ans=0; for (int i=1;i<=n;i++) (ans+=f[i])%=mo; cout<< ans << '\n'; return 0; }