矩阵的三角分解

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一、三角矩阵的分类和性质

正线上三角矩阵：矩阵主对角线下方元素均为0的矩阵
单位上三角矩阵：矩阵主对角线下方元素均为0且对角线上元素为1的矩阵
几点性质：

• 设 $A,B$为三角矩阵，且 $C=A*B$，则 $c_{ii}=a_{ii}*b_{ii}$
• 设 $A$为三角矩阵，且 $C=A^{-1}$，则 $c_{ii}=\frac{1}{a_{ii}}$
• 三角矩阵的和，差，乘积仍为三角矩阵
• 单位三角矩阵的乘积，逆仍为单位三角阵

二、 $n$阶方阵的三角分解

$\quad$设 $A$是 $n$阶满秩方阵，则 $A$可以唯一地分解为酉矩阵(正交矩阵)和正线三角复矩阵(正线三角实矩阵)的乘积。 $A=U_1R=LU_2$，其中， $U_1$是酉矩阵(正交矩阵)， $R$是正线上三角复矩阵(正线上三角实矩阵)， $L$是正线下三角复矩阵(正线下三角实矩阵)， $U_2$是酉矩阵(正交矩阵)。