基于瑞利模型的E矢量叉乘太阳方位角解算方法

太阳光在其传播过程中由于受到大气层中空气分子、气溶胶粒子等的散射作用，以及地表植被、水面等的反射作用而产生了偏振光。虽然人类的视觉无法直接感知偏振光，但许多生物如沙蚁、蜜蜂、蝗虫等昆虫，甚至大耳蝙蝠，却能够利用其独特的视觉结构，感知并利用光的偏振现象获取信息，从而进行导航、觅食、交流、迁徙等活动。一系列的解剖生物学研究证明，部分生物具有偏振光导航能力是依靠其复眼中特殊的偏振神经感光结构能够对快速变化的大气偏振模式信息进行检测和处理，从而提取可靠的罗盘信息进行导航。这一研究结果为仿生偏振光导航提供了生物基础，开辟了基于仿生的偏振光导航的研究方向。

大气偏振模式是天空中的偏振光最终形成的具有一定规律的偏振态分布，其中蕴含重要的方向信息。生物研究表明，沙蚁、蜜蜂等昆虫的导航不是应用天空单点的大气偏振模式信息，而是利用整个或局部具有稳定分布的大气偏振模式信息，并从中提取体轴与太阳子午线的夹角，从而实现导航功能。因此，利用大气偏振模式有效获取作为天空显著点的太阳位置信息，就可以为导航提供参考基准，是实现偏振光导航的前提和关键技术，同时，也对太阳位置追踪和利用有着重要的意义。

大气偏振模式的瑞利表征方法：晴朗天气情况下，大气粒子对光的散射过程，满足瑞利散射条件，因此可通过瑞利散射理论得到大气偏振模式的表征。瑞利表征认为太阳光在天球表面上的各点位置同大气粒子发生一次散射后，即被观测者接收，这能准确描述在理想条件下大气中光纤呈现的分布特征，是应用最为广泛的一种表征方法。而大气偏振模式则可看成是大气中各个点一次散射作用的集合效应。瑞利散射模型是现有描述理想条件下大气偏振模式最为经典的表征方法，与实际大气偏振模式具有较高的相似性，通常使用偏振度（DOP）和偏振角度（AOP，也称E-矢量方向）来描述，下图给出了大气偏振模式的瑞利表征建模坐标系。图中，观测者为原点，太阳位置为，天定点为，向天顶方向为轴，正东方向为轴，正北方向为轴。球面上任意一点的天顶角为，方位角为，以正北方向为0，正北往东为正值。太阳空间位置表示为，其中，表示太阳天顶角，表示太阳方位角，太阳的高度角为，太阳子午线在地理坐标系中的位置以方位角来表示。

偏振化方向角定义为被测点处E-矢量方向同所在子午线夹角，根据瑞利散射定律，任一被测点处的E-矢量为：

其中，，。

当太阳位置坐标在三维坐标下表示为，其高度角为，方位角为时，可以获得天空中任意一点，高度角为，方位角为时的偏振化方向角的理论值为：

下图表示瑞利模型下的几种坐标系之间的关系，包括地理坐标系、相机坐标系、入射光坐标系。图中，表示地理北，表示地理坐标系，表示相机坐标系，表示入射光坐标系，与分别与图像的横纵坐标轴平行，与相机平面垂直，指向天定点；表示太阳位置，表示观测点，与分别为太阳位置在地理坐标系中的天顶角和方位角，与分别为观测点在相机坐标系中的天顶角和方位角；为在入射光坐标系中的E-矢量，该矢量与、、三点构成的平面垂直，由矢量与矢量叉乘得到；入射光坐标系的轴与E-矢量之间的夹角即为该处的偏振化方向角（简称偏振角）。

入射光坐标系中的E-矢量为关于偏振角的函数，为求解E-矢量则首先应求解偏振角，求解偏振角的步骤如下：首先获得晴朗天气下的天空图像，使用相机NiKon-D850拍摄、、和四个偏振角度的大气偏振图像，相机设备如下图所示，在相机镜头前安装鱼眼镜头，并在鱼眼镜头前放置偏振片，旋转偏振片至不同角度并拍摄以获取不同偏振角度的大气的偏振图像。

拍摄得到的四幅不同角度的大气偏振图像如下，拍摄时间为2019年5月22日5点03分，从左至右的偏振图像的角度分别为、、和。

设四幅偏振图像的光强分别为、、和，由此计算该偏振态下的斯托克斯矢量分量、、：

由、、计算每一个像素处的偏振角为：

重绘图，使其沿着太阳子午线中心反对称且呈∞字形分布，计算公式为：

设天空中不同观测点位置对应像素中的两个坐标分别为和，则两个坐标对应的天顶角和方位角分别为：

其中为图像的中心位置的坐标，为相机的焦距。

偏振角图像中，处的像素灰度值，为该两观测点处的散射光的偏振角的值，则在入射光坐标系中表示E-矢量为：

在三维空间的坐标系为，绕三个坐标轴其中一轴旋转得到新的坐标系，则原先坐标系中的点用旋转后的坐标系表示时，点的坐标转换关系如下：

为了计算太阳矢量，需要将E-矢量从入射光坐标系转换到相机坐标系。若要将入射光坐标系转化到相机坐标系，需要将入射光坐标系旋转两次：将入射光坐标系绕轴向上旋转角度，得到新的坐标系；将坐标系绕轴（轴与轴重合）向右旋转角度，得到相机坐标系。每旋转一次坐标系，左乘对应的旋转矩阵，旋转矩阵中的角度对应于坐标轴旋转的角度，由此可得入射光坐标系到相机坐标系的坐标转换矩阵为：