已知函数\(f(x)=\dfrac{6{\ln}x}{x}\),关于\(x\)的不等式\(f^2(x)+af(x)+b^2>0\)有且仅有一个整数解,则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\qquad\qquad}.\)
解析:
函数\(f(x)\)的图象如图所示
经分析易知 \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=-\infty,\quad \lim_{x\to +\infty}f(x)=0^+.\] 设 \(t=f(x)\),则关于 \(t\)的方程 \(t^2+at+b^2=0\) \((\ast)\)的根有三种情形.
情形一 方程 \((\ast)\)无实根,此时由题中所给不等式解出 \(t=f(x)\in\mathbb{R}\),显然不满足题意,舍去.
情形二 方程 \((\ast)\)有两个相等的实根,记为 \(t_0\),此时由题中所给不等式解出 \[ t\in\left\{t\mid t\in\mathbb{R},t\neq t_0\right\}.\]无论 \(t_0\)是何值,此时的 \(t\),也即 \(f(x)\)都不满足题意.
情形三 方程 \((\ast)\)有两个不等的实根,记为 \(t_1,t_2\),其中 \(t_1<t_2\),由韦达定理可知 \(t_1t_2=b^2\geqslant 0\).
若 \(t_1,t_2\leqslant 0\),此时 \(x=2\)和 \(x=3\)均满足题中所给不等式,不符题设,舍去.
若 \(t_1=0,t_2>0\), 则 \(t_2=-a\),此时必须 \(t_2\in\left[f(2),f(3)\right)\),即有 \(a\in\left(-2{\ln}3,-3{\ln}2\right]\).
若 \(t_1,t_2>0\),则 \[ \forall x\in\left\{x\bigg | x\in\mathbb{N} \text{ 且 } x\geqslant \dfrac{36}{t_1^2} \right\}, f(x)<\dfrac{6\sqrt{x}}{x}=\dfrac{6}{\sqrt{x}}\leqslant t_1.\]
因此,此时有无数个正整数满足题中所给不等式,不符题设,舍去.
综上可得,所求 \(a\)的取值范围为 \(\left(-2{\ln}3,-3{\ln}2\right]\).