索引优先队列

1. 优先队列与索引优先队列

优先队列的原理大家应该比较熟悉，本质上就是利用完全二叉树的结构实现以log₂n的时间复杂度删除队列中的最小对象（这里以小堆顶为例）。完全二叉树又可以通过数组下标实现索引，当插入一个对象的时候，利用上浮操作更新最小对象。当删除堆顶最小对象时，将末尾的对象放置到堆顶上，然后执行下沉操作。

优先队列有一个缺点，就是不能直接访问已存在于优先队列中的对象，并更新它们。这个问题在Dijistra算法中就有明显的体现，有时候我们需要更新已在队列中的顶点的距离。为此就需要设计一种新型的数据结构来解决这个问题，这就是本文要介绍的索引优先队列。

索引优先队用一个整数和对象进行关联，当我们需要跟新该对象的值时，可以通这个整数进行快速索引，然后对对象的值进行更新。当然更新后的对象在优先队列中的位置可能发生变化，这样以保证整个队列还是一个优先队列。

简易版的索引优先队列API

IndexPriorityQueue<T>
IndexPriorityQueue(int capacity, Comparator<T> cmp)	构造函数，capacity表示队列容量，cmp表示对象的比较器
void enqueue(int k, T t)	将整数k和对象t进行关联，如果已有和k关联的对象，则将其更新为t
int dequeue()	出列，即删除最对象素并返回与它相关的整数。
void change(int k, T t)	将和整数k和关联的对象更新为t

注意与对象关联的整数k不能超过队列的容量。

2. 索引优先队列的实现原理

为了实现快速索引，我们首先尝试一个简单版本。我们创建两个数组分别是pq，elements。elements的作用是存储对象的引用，我们将每个对象存储在与之相关的整数作为下标的位置中，elements存储的对象不一定在数组中连续存放。pq存储是与对象相关的整数值，注意数组pq是连续存放的。此时pq作为优先队列，但是在上浮和下沉操作中，我们比较的是pq中值作为下标的elements数组中的值。这样我们就可以实现快速索引。

下图中，我们以字符串作为存储的对象类型，建立一个索引优先队列

从中我们可以看出，我们设计数组pq数组的目的。我们只需要对pq中的数值进行维护就可以实现一个优先队列，而elements中的对象的位置保持不变（出列时会置为null），这样就可以方便我们快速索引。比如通过elements数组我们可以知道与整数3相关的字符串为“f”。

在图中，我们插入一个与整数10相关的字符串“b”后，pq和elements中的值如下图所示。

假设在上图的基础上，我们要将与整数3相关的字符串修改为“a”，那么我们只需要让elements[3] = “a”即可。然后去维护pq中的值。但是在维护pq中的值时出现了一个问题，我们不知道pq中哪个位置中的值为3，只能从都到尾遍历，找到这个元素所在的位置后进行上浮和下沉操作（因为我们必须通过下标才能快速找到父节点或者孩子节点）。为了能够快速找到pq中元素值对应的下标，我们需要额外设置一个数组qp，它的作用是存储与对象相关的整数在pq数组中的下标，并在上浮和下沉的过程中同时维护它。

在上述的基础上，假设我们需要将与整数3相关的字符串修改为“a”，那么我们只需要让elements[3] = “a”，然后通过qp[3]中的值2就可以知道数组pq中值为3的下标为2，然后对pq[2]进行上浮或下沉操作。这里显然需要进行上浮操作，那么我们要交换pq[1]和pq[2]的值。这个时候我们需要注意的是，在交换pq数组中的两个元素的值时，我们也需要交换qp对应两个元素的值，因为与对象相关的整数在pq的不同位置上，那么显然该整数在pq所在的下标也变了，所以qp中的值也应该发生变化。而需要交换的qp中的两元素的下标正好就是pq中两元素的值。结果如下图所示。所以我们也需要交换qp[3]和qp[10]的值。

3. 索引优先队列的代码实现

上述的索引优先队列的原理中不能将数字0与对象进行关联，因为三个数组没有使用下标为0的位置。如果要实现与数字0进行关联，入列时只需要每个关联的数字加1；当出列时，我们只需要将返回的数字减1。

package datastruct;

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;

public class IndexPriorityQueue<T> {
    private int[] pq;
    private int[] qp;
    private Object[] element;
    private final int capacity;
    private int size;
    private Comparator<? super T> cmp;


    private static class Cmp<T> implements Comparator<T>{
        @SuppressWarnings({ "unchecked", "rawtypes" })
        @Override
        public int compare(T t1, T t2) {
            return ((Comparable)(t1)).compareTo(t2);
        }
    }

    private static void swap(int[] a, int i, int j){
        int tmp;
        tmp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = tmp;
    }

    //与对象关联的整数范围是[0,capacity-1]
    public IndexPriorityQueue(int capacity, Comparator<T> cmp){
        this.capacity = capacity;
        pq = new int[capacity+1];
        qp = new int[capacity+1];
        Arrays.fill(qp, -1);
        element = new Object[capacity+1];
        if(cmp == null){
            this.cmp = new Cmp<T>();
        }
    }

    public void enqueue(int k, T t){
        k++;//使得关联的整数可以为0

        if(k > capacity){
            throw new IllegalArgumentException();
        }

        if(qp[k] != -1){
            element[k] = t;
            swim(qp[k]);
            sink(qp[k]);
            return;
        }

        size++;
        pq[size] = k;
        qp[k] = size;
        element[k] = t;

        swim(size);
    }

    @SuppressWarnings("unchecked")
    private void swim(int child){
        int parent = child/2;
        while(parent > 0){           
            if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){
                swap(pq, child, parent);
                swap(qp, pq[child], pq[parent]);
                child = parent;
                parent = child/2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    public int dequeue(){
        if(size == 0){
            throw new IllegalArgumentException();
        }
        int r = pq[1];
        element[r] = null;
        swap(pq, size, 1);
        swap(qp, pq[size], pq[1]);
        pq[size] = -1;
        size--;
        sink(1);
        r--;//使得关联的整数可以为0
        return r;
    }

    @SuppressWarnings("unchecked")
    private void sink(int parent){
        int child = parent*2;
        while(child <= size){
            if(child + 1 <= size){
                int r = cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[child+1]]);
                child = r > 0 ? child+1 : child;
            }

            if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){
                swap(pq, parent, child);
                swap(qp, pq[parent], pq[child]);
                parent = child;
                child = parent*2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    public void change(int k, T t){
        k++;
        if(qp[k] == -1){
            throw new IllegalArgumentException();
        }
        element[k] = t;
        swim(qp[k]);
        sink(qp[k]);
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    public static void main(String[] args){
        IndexPriorityQueue<String> ipq = new IndexPriorityQueue<String>(11, null);
        ipq.enqueue(0, "k");
        ipq.enqueue(6, "d");
        ipq.enqueue(3, "f");
        ipq.enqueue(4, "c");
        ipq.enqueue(0, "a");

        while(!ipq.isEmpty()){
            System.out.println(ipq.dequeue());
        }
    }
}

4. 参考内容

[1]. 算法（第4版）Robert Sedgewick 人民邮电出版社+word文档总结

[2]. 索引优先队列-IndexedPrirotyQueue的原理及实现（源码）