[SDOI2013]方程（exlucas+容斥）

题目

给一个方程和一些限制，要求一些数必须小于\(a_i\)，一些数必须大于\(b_i\)，求不同的正整数解的数量

思路

扩展卢卡斯定理模板题

对于第二类限制\(x_i\geq a_i\)，将\(m\)减去\(a_i-1\)，即\(x_i\geq 1\)

对于第一类限制\(x_i\leq a_i\)，由于限制数很少可以容斥；不满足条件即\(x_i\geq a_i+1\)，当成第二类限制做即可

用插板法求解为\(C_{m-1}^{n-1}\% p\)，由于\(p\)不是质数，需要用扩展卢卡斯定理，码量瞬间多了几十排qwq

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n1,n2;
ll n,m,p,a[20],f[1000005];

template <class T>
void read(T &x)
{
    char c; int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
ll quickpow(ll a,ll b,ll mod)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) { x=1; y=0; return a; }
    ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
    return d;
}
ll inv(ll a,ll p)
{
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}
ll fac(ll n,ll pi,ll pk)
{
    if(!n) return 1LL;
    if(n<pi) return f[n];
    return quickpow(f[pk-1],n/pk,pk)*f[n%pk]%pk*fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
ll C(ll n,ll m,ll pi,ll pk)
{
    if(n<m) return 0;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=pk;i++)
      if(i%pi!=0) f[i]=f[i-1]*i%pk;
        else f[i]=f[i-1];
    ll jn=fac(n,pi,pk),jm=fac(m,pi,pk),jnm=fac(n-m,pi,pk);
    int k=0;
    for(ll i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
    for(ll i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for(ll i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    return jn * inv(jm,pk)%pk * inv(jnm,pk)%pk * quickpow(pi,k,pk)%pk;
}
ll crt(ll a,ll pk)
{
    ll x=p/pk;
    return a*x%p*inv(x,pk)%p;//关于pk的逆元 
}
ll solve(ll n,ll m,ll pi,ll pk)
{
    ll ret=0;
    for(int i=0,t=(1<<n1);i<t;++i)
    {
        int opt=1;
        ll nown=n;
        for(int j=0;j<n1;++j)
          if(i>>j&1) 
            opt=-opt,nown-=a[j+1];
        ret=(ret+opt*C(nown,m,pi,pk))%pk;
    }
    return ret;
}
ll exlucas(ll n,ll m,ll P)
{
    if(n<m) return 0;
    ll ret=0;
    for(ll i=2;i*i<=P;++i)
    {
        if(P%i==0)
        {
            ll pk=1;
            while(P%i==0)
            {
                pk*=i;
                P/=i;
            }
            ret=(ret+crt(solve(n,m,i,pk),pk))%p;
        }
    }
    if(P!=1) ret=(ret+crt(solve(n,m,P,P),P))%p;
    return (ret%p+p)%p;
}
int main()
{
    read(T);read(p);
    while(T--)
    {
        read(n);read(n1);read(n2);read(m);
        for(int i=1;i<=n1+n2;++i) read(a[i]);
        for(int i=n1+1;i<=n1+n2;++i) m-=(a[i]-1);
        printf("%lld\n",exlucas(m-1,n-1,p));
    }
    return 0;
}