每日一题_191915

设函数\(f(x)={\ln}x+\dfrac{1}{2}x-a,a\in\mathbb{R}\),若存在\(b\in\left[1,\mathrm{e}\right]\),\(\mathrm{e}\)为自然对数的底数,使得\(f\left(f\left(b\right)\right)=b\),
则实数\(a\)的取值范围为\(\left(\qquad\right)\)
\(\mathrm{A}.\left[-\dfrac 12,1-\dfrac{\mathrm{e}}{2}\right]\) \(\qquad\mathrm{B}.\left[1-\dfrac{\mathrm{e}}{2},{\ln}2-1\right]\) \(\qquad\mathrm{C}. \left[-\dfrac 12,{\ln}2-1\right]\) \(\qquad\mathrm{D}.\left[-\dfrac12,0\right]\)
解析:
根据题意,由于\(f\left(f\left(b\right)\right)=b\),所以\(b\)是函数\(f(x)\)的稳定点,又\(f(x)\)单调递增,所以该稳定点为不动点,也即必有\[\exists b\in\left[1,\mathrm{e}\right],f(b)=b.\]于是可得\[\exists b\in\left[1,\mathrm{e}\right], a=-\dfrac{1}{2}b+{\ln}b.\]所以\(a\)的取值范围为\(\left[-\dfrac 12,{\ln}2-1\right]\),故\(\mathrm{C}\)选项正确.