已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),短轴长为\(4\).
\((1)\) 求椭圆\(C\)的方程;
\((2)\) 过点\(N(0,2)\)作两条直线,分别交椭圆\(C\)于\(A,B\)两点(异于\(N\)点),当直线\(NA,NB\)的斜率之和为定值\(t(t\neq 0)\)时,直线\(AB\)是否恒过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
解析:
\((1)\) 由题\[2b=4,\dfrac{b}{a}=\sqrt{1-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2},\]联立解得\(a=2\sqrt{2},b=2\),所以所求椭圆方程为\(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1\).
\((2)\) 恒过定点.将原坐标系平移,使原坐标系的原点\(O\)平移至\(N\)处,则新坐标系下的椭圆方程为\[ \dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}+y=0.\]
由于直线\(AB\)不经过\(N\)点,因此可设新坐标系下直线\(AB\)的方程为\(mx+ny=1\),将直曲化齐次联立可得\[ \dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}+y\left(mx+ny\right)=0.\]即得关于\(\dfrac{y}{x}\)的一元二次方程\[ \left(n+\dfrac{1}{4}\right)\cdot\dfrac{y^2}{x^2}+m\cdot \dfrac yx+\dfrac{1}{8}=0.\]若设新坐标系下 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) . 则\(\dfrac{y_1}{x_1},\dfrac{y_2}{x_2}\)分别表示直线\(NA,NB\)的斜率,于是由韦达定理\[ \dfrac{-m}{n+\dfrac{1}{4}}=t.\]从而\(m=-t\left(n+\dfrac{1}{4}\right)\),代入直线\(mx+ny=1\)中可得\[ -\dfrac{t}{4}x-1+n\left(-tx+y\right)=0.\]因此无论\(n\)取何值,上述直线恒过定点\(\left(-\dfrac{4}{t},-4\right)\).证毕.