Inverse Lax Wendroff Procedure

• Inverse Lax Wendroff Procedure
  
  为了简单的理解ILW的思想，考虑如下的一维的守恒律：
  \[ \begin{align} u_t+f(u)_x &=0, x\in(-1,1), t>0\\ u(-1,t) &=g(t), t>0\\ u(x,0)&=u_0(x), x \in[-1,1] \end{align} \]
  假设 \(f'(u(-1,t))\geq \alpha >0\text{and}, f'(u(1,t)) \geq \alpha >0\) for \(t>0\). 这样假设是为了保证左边边界\(x=-1\)是'流入' 边界，在这里，我们需要施加边界条件。 右边边界是流出边界，无需施加边界条件。
  • 1. 外流边界条件的高阶插值
       在外流边界 \(x=1\), ghost point 的值 \(u_{N+1},..u_{N+3}\) 可以使用四阶的Taylor 展开：
       \[u_j =\sum _{k=0}^4 \frac{(x_j-1)^k}{k!}u^{*(k)}_R ,j=N+1,..N+3 \]
       where \(u^{*(k)}_R\) 是对偏导数 \(\displaystyle \frac{\partial^k u}{\partial x^k}|_{x=1,t=t_n}\) \((5-k)\) 阶的近似。在‘流出’边界，\(u^{*(k)}_R\) 的值应该是用内部点
       \(u_0,..u_N\) 给出的，假如 \(u\)在边界附近 是光滑的，
       \[\boxed{u^{*(k)}_R =\frac{d^k p_4(x)}{dx^k}|_{x=1} }\]
       where \(p_4(x)\) 是 \(u_{N-4},...,u_{N}\) 的4阶Lagrange 插值。
  • 2.'流入' 边界的 ILW 方式
    在流入边界\(x=-1\), 对 ghost point values \(u_{-3},u_{-2},u_{-1}\) ,使用 Taylor 展开：
    \[u_j=\sum _{k=0}^4 \frac{x_j+1}{k!}u^{*(k)}_L,j=-3,..-1\]
    where \(u^{*(k)}_L\) 是对\(\displaystyle \frac{\partial^k u}{\partial x^k}|_{x=-1,t=t_n}\) 的\((5-k)\) 阶的近似。
    \[ u^{*(0)}_L =g(t_n)\]
    为了得到 \(\frac{\partial ^k u}{\partial x^k}\) 的近似， 使用原方程 \(u_t+f'(u)u_x=0，x=-1,t=t_n\) 可以得到
    \[ \begin{align} u^{*(1)}_L &=-\frac{u_t(-1,t_n)}{f'(u(-1,t_n))}\\ &=-\frac{g'(t_n)}{f'(g(t_n))} \end{align} \]
    更高阶导数\(u^{*(k)}_L,k\geq 2\)怎么获得呢？ 直接使用插值，如上面的办法。