\(Description\)
题目描述
给出一个长度为\(n\)的序列\(A(A_{1},A_{2}...A_{n})\)。如果序列\(A\)不是非降的，你必须从中删去一个数，
这一操作，直到\(A\)非降为止。求有多少种不同的操作方案，答案模\(10^9+7\)。
\(Input\)
第一行一个整数\(n\)。
接下来一行\(n\)个整数，描述\(A\)。
\(Output\)
一行一个整数，描述答案。
\(Sample\) \(Input\)
4
1 7 5 3
\(Sample\) \(Output\)
18
\(Hint\)
\(1<=N<=2000\)
\(a_{i}\)没超\(long\) \(long\)就对了
\(Source\)
练习题 树3-树状数组
思路
我们看到这道题：求有多少种不同的操作方案，答案模\(10^9+7\)
我们首先设\(sum[i]\)，表示长度为\(i\)的非降序列的全部数量
我们考虑对于每一个\(sum[i]\)
因为每一个长度为\(i\)的非降序列，它都要经过删掉另外\(n-i\)个点达到，另外\(n-i\)个点也是无序的，所以长度为所贡献答案为\(sum[i]\)
接着，我们需要考虑一个情况：对于每个长度为\(i\)的非降序列，可能是通过长度为\(i+1\)的非降序列减掉一个数得到的，但是题目要求这一操作，直到\(A\)非降为止，所以这种情况是不合法的，我们需要把它减掉
那减掉多少呢
我们考虑长度为\(i+1\)的非降序列的贡献答案为\(sum[i+1]*(n-i-1)!\)，然后在这\(i+1\)个数中选择一个数删掉得到长度为\(i\)的序列，所以一共需要减掉\(sum[i+1]*(n-i-1)!*(i+1)\)
于是答案\(ans=\sum_{i=1}^nsum[i]*jc[n-i]-sum[i+1]*jc[n-i-1]*(i+1)\)
上式的\(jc[i]\)表示\(i!\)，可以通过\(O(n)\)预处理出来
接着，\(sum[i]\)可以通过十分简单的\(dp\)处理出来，设\(dp[i][j]\)表示以第\(i\)个数结尾，长度为\(j\)的方案数
则\(sum[j]=\sum_{i=1}^ndp[i][j]\)
然后，我们处理\(dp\)数组的时候，可以通过树状数组优化处理\(dp\)的过程
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define int long long
using namespace std;
const int N=2010,mod=1e9+7;
int n;
int p[N],a[N];
int dp[N][N];
int c[N][N];
int sum[N];
int jc[N];
void add(int len,int x,int y)
{
for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[len][x]=(c[len][x]+y)%mod;
}
int ask(int len,int x)
{
int out=0ll;
for(;x;x-=lowbit(x))out=(out+c[len][x])%mod;
return out;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
//离散化处理
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]),a[i]=p[i];
sort(p+1,p+n+1);
int len=unique(p+1,p+n+1)-p-1;
add(0,1,1);
//树状数组优化dp
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=lower_bound(p+1,p+len+1,a[i])-p;
for(int j=i;j>=1;j--)
{
dp[i][j]=ask(j-1,a[i])%mod;
add(j,a[i],dp[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
sum[j]=(sum[j]+dp[i][j])%mod;
//处理阶乘
jc[0]=1;//注意这里一定要设jc[0]=1，要不然当下面统计答案是当i=n-1时，答案会为0
for(int i=1;i<=n;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
int ans=(ans+sum[n])%mod;//当i=n时，不能访问到jc[n-i-1]，所以预先处理
for(int i=1;i<n;i++)ans=(ans+sum[i]*jc[n-i]%mod-sum[i+1]*jc[n-i-1]%mod*(i+1)%mod+mod)%mod;
printf("%lld",ans);
return 0;
}