最小圆覆盖入门

最小球覆盖问题

在一个平面上，给出 $N$ 个点，求包围这些点的最小圆，输出圆心及半径。

P1742模板题

分析

虽然可以用模拟退火或者三分套三分，

这里只讲随机增量法，

随机增量法是一种确定性算法，随机意义下均摊复杂度 $O(n)$，而且可以达到很高的精度（可达到 $10^{-10}$ 量级）

有事实：如果点 $p$ 不在集合 $S$ 的最小圆覆盖内，则 $p$ 一定在 $S \cup \{p\}$ 的最小圆覆盖上。

易知，当 $n$ 个点的分布随机时，因为三点定一圆，所以一个点不在圆上的概率为 $3/i$（也就外接圆上的3个点不在圆上）

根据这个定理，我们可以分三次确定前 $i$ 个点的最小圆覆盖：

1.令前 $i−1$ 个点的最小覆盖圆为 $C$

2.如果第 $i$ 个点在 $C$ 内，则前 $i$ 个点的最小覆盖圆也是 $C$

3.如果不在，那么第 $i$ 个点一定在前 i个点的最小覆盖圆上，接着确定前 $i−1$ 个点中还有哪两个在最小覆盖圆上。因此，设当前圆心为 $Pi$，半径为 0，做固定了第 $i$ 个点的前 $i$ 个点的最小圆覆盖。

4.固定了一个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点 $P_j$，设当前圆心为 $(P_i+P_j)/2$，半径为 $|PiPj|/2$，做固定了两个点的，前 $j$ 个点外加第 $i$ 个点的最小圆覆盖。

5.固定了两个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点 $P_k$，设当前圆为 $P_i,P_j,P_k$ 的外接圆。

具体的复杂度分析：

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#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>

using namespace std;
const double eps=1e-8;
const int maxn = 100000 + 10;

struct Point
{
    double x,y;
};

Point p[maxn];

double dist(Point A,Point B)
{
    return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
}

/***返回三角形的外心 */
Point circumcenter(Point A,Point B,Point C)
{
    Point ret;
    double a1=B.x-A.x,b1=B.y-A.y,c1=(a1*a1+b1*b1)/2;
    double a2=C.x-A.x,b2=C.y-A.y,c2=(a2*a2+b2*b2)/2;
    double d=a1*b2-a2*b1;
    ret.x=A.x+(c1*b2-c2*b1)/d;
    ret.y=A.y+(a1*c2-a2*c1)/d;
    return ret;
}

/***c为圆心，r为半径 */
void min_cover_circle(Point *p,int n,Point &c,double &r)
{
    random_shuffle(p,p+n);      //将n个点随机打乱
    c=p[0]; r=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(dist(p[i],c)>r+eps)   //第一个点
        {
            c=p[i]; r=0;
            for(int j=0;j<i;j++)
                if(dist(p[j],c)>r+eps)  //第二个点
                {
                    c.x=(p[i].x+p[j].x)/2;
                    c.y=(p[i].y+p[j].y)/2;
                    r=dist(p[j],c);
                    for(int k=0;k<j;k++)
                        if(dist(p[k],c)>r+eps)  //第三个点
                        {   //求外接圆圆心，三点必不共线
                            c=circumcenter(p[i],p[j],p[k]);
                            r=dist(p[i],c);
                        }
                }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    Point c;
    double r;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
        min_cover_circle(p,n,c,r);
        printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",c.x,c.y,r);
    }
    return 0;
}

参考链接：

1. https://yang2002.github.io/2019/04/21/最小圆覆盖学习笔记/

2. 时间复杂度分析：https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/9406735

3. 代码：https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79362339

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