浅谈快速幂

这篇随笔简单讲解一下数学问题种快速幂的实现原理及实现。

快速幂的用途

顾名思义，快速幂就是很快速的幂运算，试想当你面对一个问题：求\(a^b\)的时候，你的第一反应是开\(long long\)然后用\(for\)循环一点一点求。那么你就已经会了幂运算的\(O(b)\)算法。按常理来讲，这样的算法已经够用了，但是遇到一些卡时间的题目的时候还是会\(T\)，于是快速幂应运而生。简单地说，快速幂就是一种复杂度为\(O(logb)\)的求幂运算的算法。

快速幂的实现原理

因为快速幂的时间复杂度是\(O(logb)\)的，所以我们自然而然地想到了二进制及位运算。这是显然的，我们知道，一个整数可以被拆分成若干个\(2^k\)的和。那么类比一下，对于一个幂运算问题\(a^b\)，我们可以把\(b\)二进制分解，成为若干个\(2^k\)的和，那么对应下来就是这些和的幂的乘积。

举个例子：

求解问题：\(3^{42}\)。

第一步，将42二进制拆分：
\[ (42)_{10}=(101010)_2=1\times 2^5+0\times 2^4+\cdots+0\times 2^0 \]
那么，\(3^{42}\)就变成了：
\[ 3^{42}=3^{1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1} \]
所以，我们就有了这样的一个原理：

在求解\(a^b\)的时候，如果\(b\)是奇数，那么原式就是：\(a\times a^{b-1}\)。

同理，如果\(b\)是偶数，那么原式就可以变成：\(a^{b\div2}\times a^{b\div 2}\).

这是一种倍增的思想，这样我们就把原来的\(O(b)\)算法就被优化成了\(O(logb)\)的算法。

这就是快速幂的实现原理。

快速幂的代码实现

根据我们刚刚学习的快速幂的实现原理，我们很容易发现，这个东西可以用递归来实现。代码如下：

int qpow(int a,int b)
{
    if(!b)
        return 1;
    else if(b&1)
        return a*qpow(a,b-1);
    else
    {
        int t=qpow(a,b>>1);
        return t*t;
    }
}

但是，学过递归的小伙伴应该知道，递归的常数巨大无比。所以上面的代码并不是一个资深\(OIer\)会选择的东西。

那快速幂怎么写保证常数不大呢？

我们采用一种迭代的写法：

我们会发现，无论\(b\)为何值，它在快速幂迭代的过程中要么\(-1\)，要么\(\div 2\)。但无论它采用了以上的哪一种操作，都必会有一个时刻，\(b=1\)。，也就是说，\(b\)在迭代的过程中，至少会有一个时刻\(b\)为奇数。

那么我们考虑，我们完全可以在\(b\div 2\)的迭代中，先不使迭代的结果影响到答案，而是先把迭代的结果储存下来，然后等到\(b\)为奇数的时候统一加到答案里去。这样就省去了繁琐的递归和记录答案的过程，保证了常数小，而且维护了答案的正确性。

代码如下：

int qpow(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
            ret*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        }
    }
    return ret;
}