9.18 数字谜题

题意

定义对一个整数\(x\)的操作\(f(x)\)为把\(x\)变换为其二进制表示中\(1\)的个数。给定\(n,k\)，请求出\(1\)至\(n\)中经过\(k\)次变换恰好变成\(1\)的数的个数

\(n\leq 2^{1000},k\leq1000\)

解法

这题考场上想出来了，但是！打萎了

主要还是数位\(DP\)打得不多，还有一些边界情况没有考虑

稍微想一想就能知道\(1000\)至\(2^{1000}\)的任何数经过一次\(f\)变换后都会落入\(1\)至\(1000\)的区间内

我们预处理出一个数组\(a\)，\(a_i\)表示二进制位中\(1\)的个数为\(i\)的数要经过多少次变换可以变为\(1\)

接下来我们的任务就是求出\(1\)到\(n\)中二进制位中\(1\)的个数为\(i\)的数有多少个，用数组\(b_i\)存储

这个可以用数位\(DP\)处理

最后扫一遍统计答案即可

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7; 

int n, k;
int a[N], b[N], d[N];

long long f[N][N][2], c[N]; 

char s[N];

int solve(int x) {
    int res = 0;
    while (x != 1) {
        int btc = 0;
        while (x)   
            btc += (x & 1), x >>= 1;
        x = btc;
        ++res;
    }
    return res;
}

int main() {
    
//  freopen("number.in", "r", stdin);
//  freopen("number.out", "w", stdout);
    
    scanf("%s", s + 1);
    scanf("%d", &k);
    
    if (k >= 1000)
        return puts("0"), 0;
    
    if (k == 0)
        return puts("1"), 0;
        
    n = strlen(s + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = s[i] - 48;
    
    if (n == 1) 
        return puts("0"), 0; 
        
    for (int i = 1; i <= 1000; ++i) b[i] = solve(i) + 1;    
    
    f[1][1][1] = 1, f[1][0][0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (a[i] == 0) {
            f[i][0][0] = f[i - 1][0][0];
            for (int j = 1; j <= i; ++j) 
                f[i][j][0] = (f[i - 1][j - 1][0] + f[i - 1][j][0]) % mod,
                f[i][j][1] = f[i - 1][j][1];
        } else {
            f[i][0][0] = f[i - 1][0][0];
            for (int j = 1; j <= i; ++j)
                f[i][j][0] = ((f[i - 1][j - 1][0] + f[i - 1][j][0]) % mod + f[i - 1][j][1]) % mod,
                f[i][j][1] = f[i - 1][j - 1][1];
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= 1000; ++i)
        c[i] = (f[n][i][0] + f[n][i][1]) % mod;
    
    long long ans = 0;
    for (int i = 1; i <= 1000; ++i)
        if (b[i] == k)
            ans = (ans + c[i]) % mod;
    
    if (k == 1) --ans;
    
    printf("%lld\n", (ans + mod) % mod);
        
    return 0;
}