Lucas定理
先上结论：
当p为素数：
\(\binom{ N }{M} \equiv \binom{ N/p }{M/p}*\binom{ N mod p }{M mod p} (mod p)\)
证明：令 \(s=\lfloor \frac{n}{p} \rfloor\)，\(q=n\bmod p\)，\(t=\lfloor \frac{m}{p} \rfloor\)，\(r=m \bmod p\)。
需证明 \(\binom{sp+q}{tp+r}\equiv \binom{s}{t}\binom{q}{r} \pmod p\)。\((1+x)^n\equiv (1+x)^{sp+q}\equiv((1+x)^p)^s(1+x)^q\)。
因为 \((1+x)^p=\sum\limits_{i=0}^p \binom{p}{i} x^i\)，
所以 \((1+x)^p\equiv(1+x^p)\)。
那么就有 \((1+x)^n\equiv(1+x^p)^s(1+x)^q\equiv\sum\limits_{i=0}^{s} \binom{s}{i} x^{pi}\cdot\sum\limits_{j=0}^q \binom{q}{i}x^i\)。
考虑 \(\binom{n}{m}\) 也就是 \(\binom{sp+q}{tp+r}\)
实际上是在多项式 \((1+x)^n\) 中 \(x^{tp+r}\) 项的系数，
由前面的同余式得到这个系数同时也是 \(\binom{s}{t}\binom{q}{r}\) 也就是 \(i\) 取 \(t\) \(j\) 取 \(r\) 的情况，
所以 \(\binom{n}{m}\equiv \binom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \binom{n\bmod p}{m\bmod p} \pmod {p}\) 得证。