每日一题_190915

已知关于 \(x\) 的方程 \(x^2\ln x=a\ln a-a\ln x\) 有 \(3\) 个不同的实根，求 \(a\) 的取值范围．
解析: 原题即关于 \(x\) 的方程 \(\ln x-\dfrac {a\ln a}{x^2+a}=0\) 有三个不同的实根．记
\[ f(x)=\ln x-\dfrac {a\ln a}{x^2+a},x>0,a>0.\]
对 \(f(x)\) 求导可得\[ f'(x)=\dfrac 1x+\dfrac {2a{\ln a} x}{(x^2+a)^2}=\dfrac {x^4+2a(1+\ln a)x^2+a^2}{x(x^2+a)^2}.\]
若要 \(f(x)\) 有三个不同的零点，则 \(f'(x)\) 至少有两个变号零点，即方程 \[ x^4+2a(1+\ln a)x^2+a^2=0\]
至少有两个正根，所以
\[ \begin{cases} & \Delta=4a^2(1+\ln a)^2-4a^2>0,\\ & -2a(1+\ln a)>0, \end{cases}\]
解得 \(0<a<\dfrac 1{\rm e^2}\)．此时 \(f'(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上有且仅有两个不同的零点, 设为 \(m,n\), 并且 \(m<n\). 于是 \(f(x)\) 在 \((0,m),(n,+\infty)\) 单调递增, 在 \([m,n]\) 单调递减. 注意到 \(f\left( \sqrt{a}\right)=0\). 并且
\[ f'\left( \sqrt{a}\right)=2a^2\left( 2+{\ln} a\right)<0.\]
所以 \(0<m<\sqrt{a}<n\), 从而
\[ f(m)>f\left(\sqrt{a}\right)=0>f(n).\]
取 \(x_2=n+1>n\), 则
\[ \forall a\in \left( 0, \dfrac{1}{\mathrm{e}^2} \right) ,f(x_2)>0-\dfrac{a{\ln}a}{x^2+a}>0.\]
取 \(x_1=\dfrac{ma}{m+a}<m\), 则
\[ \forall a\in\left( 0,\dfrac{ 1}{\mathrm{e}^2}\right), f(x_1)<{\ln}a-\dfrac{a{\ln}a}{0^2+a}=0.\]
综上, 当 \(0<a<\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}\) 时, 函数 \(f(x)\) 在三段单调区间上分别有一零点. 且这三个零点分别位于区间
\[ (x_1,m),(m,n),(n,x_2).\]
因此所求 \(a\) 的取值范围为 \(\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right)\)．