数学基础-day1

1 导数

    导数：曲线的斜率

    二阶导数：曲线斜率变化的快慢

    常用函数的导数：

        C^,=0             (xn)^,=nx^n-1      (sinx)^,=cosx      (cosx)^,=-sinx

        (a^x)^,=a^xlna       (e^x)^,=e^x      (log_ax)^,=1/xlog_ae     (lnx)^,=1/x

        (u+v)^,=u^,+v^,      (uv)^,=u^,v+uv^,

2 幂指函数的处理套路

    f(x)=x^x,求f(x)最小值

    t=x^x

    两边取对数：lnt=xlnx

    两边对x求导：(1/t)t^,=lnx+1

    令t,=0，lnx+1=0

    得：x=e^-1

    得t=e^-1/e

2 泰勒公式

    f(x)=f(x₀)+f^,(x₀)(x-x₀)+f^,,(x₀)(x-x₀)²/2!+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+R_n(x)

    应用：

    ex=1+x+x²/2!+x³/3!+…xⁿ/n!+R_n

    sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-x⁷/7!+…+(-1)^m-1x^2m-1/(2m-1)!+R_2m

3 梯度

    定义：函数在该点变化最快的方向

4 凸函数

    定义：若函数f的定义域domf为凸集，且满足x,y属于domf，0<=θ<=1，有f(θx+(1-θ)y)<=θf(x)+(1-θ)f(y)，则f为凸函数。

    一阶可微：若f一阶可微，则函数为凸函数当且仅当f的定义域domf为凸集，且x,y属于domf，f(y)>=f(x)+▽f(x)(y-x)

    二阶可微：若函数f二阶可微，则函数f为凸函数当且仅当dom为凸集，且▽²f(x)>=0

5 概率论

    PDF：概率密度函数

    古典概型：n个球放入N（N>=n）个盒子中，事件A={每个盒子至多有1个球的概率}

        N（N-1）…(N-n+1)/(N^^n)

    生日悖论：50位同学，至少2人生日相同的概率是多少？

        1-P⁵⁰₃₆₅/365^^50

    装箱问题：12件正品和3件次品随机装在3个箱子中，每箱装5件，每箱中恰有1件次品的概率

        3！*12！/4!*4!*4!/(15!/(5!*5!*5!))