每日一题_190913

已知函数 \(f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{ax}}{a}+x-2{\ln}(x+1)\) $( $ \(\mathrm{e}\) 为自然对数的底数, \(a\) 为常数, 且 \(a\neq 0\) \()\)
\((1)\) 若函数在 \(x=1\) 处的切线与直线 \(\mathrm{e}x-y=0\) 平行, 求 \(a\) 的值\(;\)
\((2)\) 若 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上存在单调递减区间, 求 \(a\) 的取值范围.
解析:
\((1)\) 对 \(f(x)\) 求导可得
\[ f'(x)=\mathrm{e}^{ax}+1-\dfrac{2}{x+1},x>-1. \] 由题有 \(f'(1)=\mathrm{e}\), 解得 \(a=1\).
\((2)\) 显然
\[ \forall x\geqslant 1, f'(x)\geqslant 0. \] 因此 \(f(x)\) 在区间 \([1,+\infty)\) 上不可能存在单调递减区间, 所以只需考察区间 \((0,1)\). 考虑研究问题的对立面, 即
\[ \forall x\in(0,1), f'(x)\geqslant 0 \] 注意到 \(f'(0)=0\), 经由端点分析可知参数 \(a\) 的讨论分界点为 \(-2\).
情形一 若 \(a\geqslant -2\), 则有
\[ \forall x\in(0,1),a\geqslant -2=\dfrac{ 1}{x}\cdot 2\cdot \dfrac{ \frac{1-x}{1+x}-1 }{\frac{1-x}{1+x}+1}\geqslant \dfrac{1}{x}\cdot {\ln} \dfrac{1-x}{1+x}. \]也即
\[ \forall x\in(0,1), f'(x)=\mathrm{e}^{ax}+1-\dfrac{2}{x+1}\geqslant 0. \]所以该种情形下, 函数 \(f(x)\) 在 \((0,1)\) 不存在单调递减区间.
情形二 若 \(a<-2\), 记 \(g(x)=f'(x)\), 对 \(g(x)\) 求导可得
\[ g'(x)=a\mathrm{e}^{ax}+\dfrac{2}{(x+1)^2},x\in(0,1). \]
由于 \(g'(0)=a+2<0\), 因此
\[ \exists x_0>0, \forall x\in(0,x_0), g'(x)<0, g(x)<g(0)=0. \] 也即该种情形下 \(f(x)\) 存在单调递减区间 \((0,x_0)\).
综上, 所求 \(a\) 的取值范围为 \((-\infty,-2)\).