【题解】P4755 Beautiful Pair
启发式分治
由于之前是直接抄std写的，所以没有什么心得体会，今天自己写写发现
不知道为啥\(90\)分
我直接把之前写的总结kuai过来
而选取其他位置(比如序列的最大值)由不能保证复杂度。但是如果每层分治的复杂度只与较小的一侧的大小有关,那么这个复杂度就等同于启发式合并的复杂度。
一句话证明启发式合并的复杂度：一次合并至少有一个集合倍增了。
Luogu4755 Beautiful Pair(\(max\)分治)
\(max\)分治意思就是分治的时候不好取中间数作为分治中心，要选择别的特殊数进行分治，此时可以利用启发式合并的思想做到外层一个\(\log\)
给一个序列 \(\{a_i \}\),求有多少对 \(1 ≤ i ≤ j ≤ n\) 满足 $a_i a_ j ≤ max {k=i}^j a k $。
考虑这样的做法，如何分治求这种数对，考虑这样的做法：
分治处理区间：长度为\(n,[l,r]\)并且跨过\([l,r]\)某个最大值(有多个最大值的时候随意指定一个)的所有答案区间个数：
首先随便一个数据结构维护出一段区间的最大值的位置(多个的时候随便指定一个)，就把这个\([l,r]\)分成了两个区间递归下去即可。 现在复杂度的关键在于处理当前层的复杂度了，受到启发式合并的启发(大雾)，我们考虑大段维护，小的朴素，考虑这样的做法：
首先对于短的那一边区间的长度必定\(\le n/2\)，现在先枚举这半边区间的\(a_u\)，设当前层的全局最大值为\(k\)，那么我们现在要查询另一边区间中，小于等于\(\lfloor \dfrac {k}{a_u}\rfloor\)的\(a_i\)个数，这个东西直接值域主席树维护一波。主席树是一个log的。这样统计当前层的答案的复杂度是\(f(n)=O(\dfrac n 2 \log L)\)。由于每层的复杂度和当前层短的那一边有关，利用启发式合并的复杂度证明方法很容易发现这样的复杂度是\(O(n \log^2n)\)的，只要倒着看我们这个分治的递归就行了。
哪位大神可以指出我的错误就直接留言我会看的
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std; typedef long long ll; typedef const int& cint;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
#define mid ((l+r)>>1)
#define lef l,mid,seg[pos].ls
#define rgt mid+1,r,seg[pos].rs
#define pp(x) seg[x].val=seg[seg[x].ls].val+seg[seg[x].rs].val
const int maxn=1e5+5;
typedef pair<int,int> P;
P st[maxn][19];
int lg[maxn],n,data[maxn]; ll ans;
inline P que(int l,int r){return max(st[l][lg[r-l]],st[r-(1<<lg[r-l])+1][lg[r-l]]);}
struct Chairseg{
struct E{
int ls,rs,val;
E(){ls=rs=val=0;}
E(cint a,cint b,cint c){ls=a; rs=b; val=c;}
}seg[maxn*60];
int rt[maxn];
int cnt,n;
void build0(int l,int r,int pos){
if(l==r)return;
seg[pos].ls=++cnt; seg[pos].rs=++cnt;
build0(lef); build0(rgt);
}
void build(int k,int val,int l,int r,int pos,int last){
if(l==r){seg[pos].val=seg[last].val+val;return;}
seg[pos]=seg[last];
if(k<=mid) seg[pos].ls=++cnt,build(k,val,lef,seg[last].ls);
if(k> mid) seg[pos].rs=++cnt,build(k,val,rgt,seg[last].rs);
pp(pos);
}
int que(int L,int R,int l,int r,int pos){
if(L>r||R<l||r<0) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return seg[pos].val;
return que(L,R,lef)+que(L,R,rgt);
}
int que(int L,int R,int l,int r){return que(l,r,1,n,rt[R])-que(l,r,1,n,rt[L-1]);}
inline void init(const int&n){build0(1,this->n=n,rt[0]=++cnt);}
}T;
vector<int> ve;
void divd(int l,int r){
if(l>=r) return ans+=data[l]==1,void();
const auto&now=que(l,r);
if(now.first<mid)
for(int t=l;t<=now.second;++t)
ans=ans+T.que(now.second,r,1,upper_bound(ve.begin(),ve.end(),now.first/data[t])-ve.begin());
else
for(int t=now.second;t<=r;++t)
ans=ans+T.que(l,now.second,1,upper_bound(ve.begin(),ve.end(),now.first/data[t])-ve.begin());
divd(l,now.second-1); divd(now.second+1,r);
}
int main(){
n=qr();
for(int t=1;t<=n;++t) lg[t]=lg[t-1]+(1<<lg[t-1]<<1==t);
for(int t=1;t<=n;++t) st[t][0]=make_pair(data[t]=qr(),t);
for(int t=1;t<=n;++t) ve.push_back(data[t]);
for(int t=1;t<=lg[n];++t)
for(int i=1;i<=n;++i)
st[i][t]=max(st[i][t-1],st[min(i+(1<<t>>1),n)][t-1]);
ve.push_back(1e9+1);
sort(ve.begin(),ve.end());
ve.resize(unique(ve.begin(),ve.end())-ve.begin());
T.init(ve.size());
for(int t=1;t<=n;++t) T.build(upper_bound(ve.begin(),ve.end(),data[t])-ve.begin(),1,1,T.n,T.rt[t]=++T.cnt,T.rt[t-1]);
divd(1,n);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}