每日一题_190908

已知数列 $ {a_n} $ 满足: $ a_1=\dfrac{1}{3}$, \(a_{n+1}=(1-a_n)\sin a_n\), $n\in\mathbb{N}^\ast. $ 求证:
$ (1) $ $ 0<a_n\leqslant\dfrac{1}{n+2},n\in\mathbb{N}^\ast; $
$ (2) $ $ \cos\sqrt{2a_1}\cos\sqrt{2a_2}\cdots\cos\sqrt{2a_n}>\dfrac{2}{n+2}, n\in\mathbb{N}^\ast. $
解析
$ (1) $ 易知\[ \forall x\in\left (0,\dfrac{1}{3} \right], 0<(1-x)\sin x<x . \]
首先考虑证明 \(\forall n\in\mathbb{N}^\ast, 0<a_n\leqslant\dfrac{1}{3}\).
归纳奠基 显然 $ n=1 $ 时,上述命题成立.
归纳递推 假设当 $ n=k(k\geqslant2\text{且}k\in\mathbb{N}^\ast) $ 时, $ 0<a_k\leqslant\dfrac{1}{3}. $ 则 \[ a_{k+1}=(1-a_k)\sin{a_k}\in\left(0, \dfrac{1}{3} \right] ,\]于是\(\forall n\in\mathbb{N}^\ast,a_n\in\left( 0,\dfrac{1}{3}\right].\) 接下来证明 $ \forall n\in\mathbb{N}^\ast, 0<a_n\leqslant\dfrac{1}{n+2}. $
归纳奠基 显然 $ n=1 $ 时, 上述命题成立.
归纳递推 假设当 $ n=k(k\geqslant2\text{且}k\in\mathbb{N}^\ast) $ 时, \(0< a_k\leqslant\dfrac{1}{k+2} .\) 则 \[ 0<a_{k+1}=(1-a_k)\sin{a_k}<(1-a_k)a_k\leqslant\dfrac{k+1}{(k+2)^2}<\dfrac{1}{k+3}. \]
于是\(\forall n\in\mathbb{N}^\ast, 0<a_n\leqslant \dfrac{1}{n+2}\).
$ (2) $ 原不等式可以写成 \[ \cos\sqrt{2a_1}\cos\sqrt{2a_2}\cdots\cos\sqrt{2a_n}>\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdots\dfrac{n+1}{n+2} \]
只要证 \[ \forall n\in\mathbb{N}^\ast, \cos{\sqrt{2a_n}}>\dfrac{n+1}{n+2}. \]
结合 \((1)\) 中结论可知仅需证明 \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast, \cos{\sqrt{\dfrac{2}{n+2}}}>\dfrac{n+1}{n+2}.\]
令 $ x=\sqrt{\dfrac{2}{n+2}}\in\left( 0, \dfrac{\sqrt 6}{3}\right], $ 则上式等价于 \[ \forall x\in\left(0,\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right], \cos x>1- \dfrac{1}{2}x^2. \]
易证上述不等式成立.从而题中不等式得证.