本文源自绝妙可视化：什么是深度学习的卷积？
近年来，随着一些强大、通用的深度学习框架相继出现，把卷积层添加进深度学习模型也成了可能。这个过程很简单，只需一行代码就能实现。但是，你真的理解 “卷积” 是什么吗？当初学者第一次接触这个词时，看到堆叠在一起的卷积、核、通道等术语，他们往往会感到困惑。作为一个概念，“卷积” 这个词本身就是复杂、多层次的。
在这篇文章中，我们将分解卷积操作的机制，逐步将其与标准神经网络联系起来，探索它们是如何建立起强大的视觉层次结构，并最终成为强大的图像特征提取器的。
2D 卷积：操作
2D 卷积是一个相当简单的操作：我们先从一个小小的权重矩阵，也就是卷积核（kernel）开始，让它逐步在二维输入数据上 “扫描”。卷积核 “滑动” 的同时，计算权重矩阵和扫描所得的数据矩阵的乘积，然后把结果汇总成一个输出像素。
那么为什么输出特征的会落入这个 “大致区域” 呢？这取决于卷积核的大小。卷积核的大小直接决定了在生成输出特征时，它合并了多少输入特征，也就是说：卷积核越小，输入输出的位置越接近；卷积核越大，距离就越远。
这和全连接层很不一样。在上图的例子中，我们的输入有 5×5=25 个特征，而我们的输出则是 3×3=9 个特征。如果这是一个全连接层，输入 25 个特征后，我们会输出包含 25×9=225 个参数的权重矩阵，每个输出特征都是每个输入特征的加权和。
这意味着对于每个输入特征，卷积执行的操作是使用 9 个参数进行转换。它关注的不是每个特征究竟是什么，而是这个大致位置都有什么特征。这一点很重要，理解了它，我们才能进行深入探讨。
一些常用的技巧
在我们继续讨论前，我们先来看看卷积神经网络中经常出现的两种技巧：Padding 和 Strides。
Padding
如果你仔细看了上文中的 gif，你会发现我们把 5×5 的特征矩阵转换成了 3×3 的特征矩阵，输入图像的边缘被 “修剪” 掉了，这是因为边缘上的像素永远不会位于卷积核中心，而卷积核也没法扩展到边缘区域以外。这是不理想的，通常我们都希望输入和输出的大小应该保持一致。
Stride
如果说 Padding 的作用是使输出与输入同高宽，那么在卷积层中，有时我们会需要一个尺寸小于输入的输出。那这该怎么办呢？这其实是卷积神经网络中的一种常见应用，当通道数量增加时，我们需要降低特征空间维度。实现这一目标有两种方法，一是使用池化层，二是使用 Stride（步幅）。
在一些目前比较先进的网络架构中，如 ResNet，它们都选择使用较少的池化层，在有缩小输出需要时选择步幅卷积。
多通道卷积
当然，上述例子都只包含一个输入通道。实际上，大多数输入图像都有 3 个 RGB 通道，而通道数的增加意味着网络深度的增加。为了方便理解，我们可以把不同通道看成观察全图的不同 “视角”，它或许会忽略某些特征，但一定也会强调某些特征。
卷积核处理完数据后，形成了三个版本的处理结果，这时，filter 再把它们加在一起形成一个总的通道。所以简而言之，卷积核处理的是不同通道的不同版本，而 filter 则是作为一个整体，产生一个整体的输出。
最后，还有偏置项。我们都知道每个 filter 输出后都要加上一个偏置项，那么为什么要放在这个位置呢？如果联系 filter 的作用，这一点不难理解，毕竟只有在这里，偏置项才能和 filter 一起作用，产生最终的输出通道。
以上是单个 filter 的情况，但多个 filter 也是一样的工作原理：每个 filter 通过自己的卷积核集处理数据，形成一个单通道输出，加上偏置项后，我们得到了一个最终的单通道输出。如果存在多个 filter，这时我们可以把这些最终的单通道输出组合成一个总输出，它的通道数就等于 filter 数。这个总输出经过非线性处理后，继续被作为输入馈送进下一个卷积层，然后重复上述过程。
2D 卷积：直觉
卷积仍是线性变换
尽管上文已经讲解了卷积层的机制，但对比标准的前馈网络，我们还是很难在它们之间建立起联系。同样的，我们也无法解释为什么卷积可以进行缩放，以及它在图像数据上的处理效果为什么会那么好。
假设我们有一个 4×4 的输入，目标是把它转换成 2×2 的输出。这时，如果我们用的是前馈网络，我们会把这个 4×4 的输入重新转换成一个长度为 16 的向量，然后把这 16 个值输入一个有 4 个输出的密集连接层中。下面是这个层的权重矩阵 W：
总而言之，有 64 个参数
虽然卷积的卷积核操作看起来很奇怪，但它仍然是一个带有等效变换矩阵的线性变换。如果我们在重构的 4×4 输入上使用一个大小为 3 的卷积核 K，那么这个等效矩阵会变成：
这里真的只有 9 个参数
注：虽然上面的矩阵是一个等效变换矩阵，但实际操作可能会不太一样。
可以发现，整个卷积仍然是线性变换，但与此同时，它也是一种截然不同的变换。相比前馈网络的 64 个参数，卷积得到的 9 个参数可以多次重复使用。由于权重矩阵中包含大量 0 权重，我们只会在每个输出节点看到选定数量的输入（卷积核的输入）。
而更高效的是，卷积的预定义参数可以被视为权重矩阵的先验。卷积核的大小、filter 的数量，这些都是可以预定义的网络参数。当我们使用预训练模型进行图像分类时，我们可以把预先训练的网络参数作为当前的网络参数，并在此基础上训练自己的特征提取器。这会大大节省时间。
从这个意义上讲，虽然同为线性变换，卷积相比前馈网络的优势就可以被解释了。和随机初始化不同，使用预训练的参数允许我们只需要优化最终全连接层的参数，这意味着更好的性能。而大大削减参数数量则意味着更高的效率。
上图中我们只展示了把 64 个独立参数减少到 9 个共享参数，但在实际操作中，当我们从 MNIST 选择 784 幅 224×224×3 的图像时，它会有超过 150,000 个输入，也就是超过 100 亿个参数。相比之下，整个 ResNet-50 只有约 2500 万个参数。
因此，将一些参数固定为 0 可以大大提高效率。那么对比迁移学习，我们是怎么判断这些先验会产生积极效果的呢？
答案在于先前引导参数学习的特征组合。
局部性
在文章开头，我们就讨论过这么几点：
- 卷积核仅组合局部区域的几个像素，并形成一个输出。也就是说，输出特征只代表这一小块局部区域的输入特征。 卷积核会在 “扫描”
- 完整张图像后再生成输出矩阵。
因此，随着反向传播从分类节点开始往前推移，卷积核就可以不断调整权重，努力从一组本地输入中提取有效特征。另外，因为卷积核本身应用于整个图像，所以无论它学习的是哪个区域的特征，这些特征必须足够通用。
如果这是任何其他类型的数据，比如应用程序的安装序列号，卷积的这种操作完全不起作用。因为序列号虽然是一系列有顺序的数字，但他们彼此间没有共享的信息，也没有潜在联系。但在图像中，像素总是以一致的顺序出现，并且会始终对周围像素产生影响：如果所有附近的像素都是红色，那么我们的目标像素就很可能也是红色的。如果这个像素最终被证明存在偏差，不是红色的，那这个有趣的点就可能会被转换为特征。
通过对比像素和临近像素的差异来学习特征 —— 这实际上是许多早期计算机视觉特征提取方法的基础。例如，对于边缘检测，我们可以使用 Sobel edge detection：
用于垂直边缘检测的 Sobel 算子
对于不包含边缘的网格（如天空），因为大多数像素都是相同的值，所以它的卷积核的总输出为 0。对于具有垂直边缘的网格，边缘左侧和右侧的像素存在差异，所以卷积核的输出不为零，激活边缘区域。虽然这个卷积核一次只能扫描 3×3 的区域，提取其中的特征，但当它扫描完整幅图像后，它就有能力在图像中的任何位置检测全局范围内的某个特征。
那么深度学习和这种传统方法的区别是什么？对于图像数据的早期处理，我们确实可以用低级的特征检测器来检测图中的线条、边缘，那么，Sobel 边缘算子的作用能否被卷积学习到？
深度学习研究的一个分支是研究神经网络模型可解释性，其中最强大的是使用了优化的特征可视化。它的思路很简单，就是通过优化图像来尽可能强烈地激活 filter。这确实具有直观意义：如果优化后的图像完全被边缘填充，这其实就是 filter 本身正在寻找激活特征，并让自己被激活的强有力证据。
GoogLeNet 第一个卷积层的 3 个不同通道的特征可视化，请注意，虽然它们检测到不同类型的边缘，但它们仍然是低级边缘检测器
GoogLeNet 第二个、第三个卷积层的 12 个通道的特征可视化
这里要注意一点，卷积图像也是图像。卷积核是从图像左上角开始滑动的，相应的，它的输出仍将位于左上角。所以我们可以在这个卷积层上在做卷积，以提取更深层的特征可视化。
然而，无论我们的特征检测器如何深入，在没有任何进一步改变的情况下，它们仍将在非常小的图像块上运行。无论检测器有多深，它的大小就只有 3×3，它是不可能检测到完整的脸部的。这是感受野（Receptive field）的问题。
感受野
无论是什么 CNN 架构，它们的基本设计就是不断压缩图像的高和宽，同时增加通道数量，也就是深度。如前所述，这可以通过池化和 Stride 来实现。局部性影响的是临近层的输入输出观察区域，而感受野决定的则是整个网络原始输入的观察区域。
步幅卷积背后的想法是我们只滑动固定距离的间隔，并跳过中间的网格。
如上图所示，把 stride 调整为 2 后，卷积得到的输出大大缩小。这时，如果我们在这个输出的基础上做非线性激活，然后再上面再加一个卷积层，有趣的事就发生了。相比正常卷积得到的输出，3×3 卷积核在这个步幅卷积输出上的感受野更大。
这是因为它的原始输入区域就比正常卷积的输入区域大，这会对后续特征提取产生影响。
这种感受野的扩大允许卷积层将低级特征（线条、边缘）组合成更高级别的特征（曲线、纹理），正如我们在 mixed3a 层中看到的那样。而随着我们添加更多 Stride 层，网络会显示出更多高级特征，如 mixed4a、mixed5a。
通过检测低级特征，并使用它们来检测更高级别的特征，使其在视觉层次结构中向前发展，最终能够检测到整个视觉概念，如面部，鸟类，树木等。这就是卷积在图像数据上如此强大、高效的一个原因。
结论
现如今，CNN 已经允许开发者们从构建简单的 CV 应用，到把它用于为复杂产品和服务提供技术动力，它既是照片库中用于检测人脸的小工具，也是临床医学中帮助医生筛查癌细胞的贴心助手。它们可能是未来计算机视觉的一个关键，当然，一些新的突破也可能即将到来。
但无论如何，有一件事是确定的：CNN 是当今许多创新应用的核心，而且它们的效果绝对令人惊叹，这项技术本身也有掌握、了解的必要。