Problem A: 记忆（memory）
Time Limit: 1000 ms Memory Limit: 512 MB
Description
你在跟朋友玩一个记忆游戏。
朋友首先给你看了n个长度相同的串，然后从中等概率随机选择了一个串。
每一轮你可以询问一个位置上的正确字符，如果能够凭借已有的信息确定出朋友所选的串，那么游戏就结束了，你的成绩就是所用的轮数。
由于你实在太笨，不会任何策略，因此你采用一种方法，每次等概率随机询问一个未询问过的位置的字符。
现在你想知道，在这种情况下，你猜出结果所需的期望次数。
Input
第1行包含一个整数 n，表示串的个数。
第 2 ~ n+1行每行包含一个长度相等的字符串，仅包含小写字母和大写字母。
Output
输出1行一个小数，表示猜出结果所需的期望次数，保留10位小数。
Sample Input
3
aaA
aBa
Caa
Sample Output
1.6666666667HINT
设串长为l
对于20%的数据， n，l≤10
对于30%的数据， n，l≤15
对于60%的数据， n，l≤20
对于100%的数据， n≤50，l≤20
Solution
期望DP
考虑状压，a[i][j]表示在第i位上为字符j的个数，这个个数用一个二进制状态表示，第k位是1即表示k串第i位是字符j。
设b[i][j]代表在询问状态为j且答案为i的情况下，还有b[i][j]个字符串满足要求，同样以二进制状态储存。
设num[i]，表示在询问状态为i的情况下，有num[i]个满足条件的字符串。
设i代表答案为第i个字符串，j代表当前询问状态，不难得到转移方程：
\(设k=j \bigoplus lowbit(j) pos为lowbit的位置\)
$ b[i][j] = b[i][k] and a[pos][s[i][pos]] $
\(num[j]+=[b[i][j]!=lowbit(b[i][j])]\)
第二条含义：如果pos位置上等于s[i][pos]的字符串同时也满足询问k的条件，显然它在询问j状态下也是满足的
第三条含义：如果有不确定的情况，那么num[j]++
接下来我们用cnt[i]表示二进制下i的1的个数，f[i]表示转移到状态i的概率
设\(tmp=f[i \bigoplus (1<<j)]/(m-cnt[i \bigoplus (1<<j)])\)，这代表了从\(i \bigoplus (1<<j)\)转移到i的概率（即1/上一状态的0的个数）
所以有\(f[i]+=tmp\)
接下来，我们有\(ans+=cnt[i]*(tmp*(num[i \bigoplus (1<<j)]-num[i]))\)，这是什么意思呢？
首先cnt[i]是转移到i状态的操作个数（就是1的个数）
后面的tmp乘上的那一坨玩意儿就意味着你可以从\(num[i \bigoplus (1<<j)]-num[i]\)这些从不确定转为确定状态的串中任意一个进行转移
于是最后统计出来的ans就是所有串被猜中的期望操作次数总和
除以n就是最后答案了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,M;
const int N=1<<20;
int num[N],cnt[N],s[50][20];
long long a[50][52],b[50][N];
long double f[N],ans;
char str[20];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%s",str);
m=strlen(str),M=1<<m;
for(int j=0;j<m;j++){
s[i][j]=('a'<=str[j]&&str[j]<='z')?str[j]-'a':str[j]-'A'+26;
a[j][s[i][j]]|=(1ll<<i);
}
}
num[0]=n;
for(int i=0;i<n;i++){
b[i][0]=(1LL<<n)-1LL;
for(int j=1;j<M;j++){
int k=j^(j&-j);
int pos=__builtin_ctz(j);
b[i][j]=b[i][k]&a[pos][s[i][pos]];
if(b[i][j]!=(b[i][j]&-b[i][j])) num[j]++;
}
}
for(int i=1;i<M;i++)
cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
f[0]=1;
for(int i=1;i<M;i++)
for(int j=0;j<m;j++)
if((i>>j)&1){
long double tmp=f[i^(1<<j)]/(m-cnt[i^(1<<j)]);
ans+=cnt[i]*(tmp*(num[i^(1<<j)]-num[i]));
f[i]+=tmp;
}
printf("%.10Lf",ans/n);
}