T2-十七公斤重的文明
有一个集合S，初始时为空，每一次操作，你可以选择1到n中的任意一个不在S中的元素i，并将其加入S，此时如果i-2也在S中，则将i-2从S中删除，如果i+k也在S中，则将i+k从S中删除。该操作可以进行任意多次。郝仁想知道总共有多少种不同的S，对998244353取模
两个集合不同，当且仅当存在一个元素，在其中一个集合中出现，而在另一个集合中没有出现
解法
我们将K为奇数和偶数的情况分开讨论
偶数：
打个表，可以发现都有一个这样的规律
$ f[k][k]=a[0]×a[0] $
$ f[k+1][k]=a[0]×a[1] $
$ f[k+2][k]=a[1]×a[1 ]$
$ \dots \dots $
$ f[n][k]=a[(n-k)/2]×a[(n-k+1)/2] $
而$ f[x][x] = 2 ^ {x} $ ，所以$ a[0] = 2 ^ \frac {k} {2} $
又可以打表得出
当 $ k=2 $ 时，$ a[i]=2×a[i-1]-a[i-3] $
当 $ k=4 $ 时，$ a[i]=2×a[i-1]-a[i-4] $
$ \dots \dots $
当 $ k=2×x $ 时
当 $ i>0 $ 时，$ a[i]=2×a[i-1]-a[i-2-x] $
当 $ i<0 $ 时，$ a[i]=max(2^{x+i},1) $
然后偶数就愉快的解决了
奇数：
我们将1~n的奇数和偶数分成两列排好，将i和i+k对齐
我们保证，每次取点只增加点，不减少点
这样就只能从一个点开始，向下或向右取，而且不会重复
那什么时候不合法呢
我们从右边开始取，取了一个$ num $
如果取到$ num+k \(就不合法 往下走一次是\) +2 \(，往左走一次是\) -k $
设x为向下走的次数
如果$ num+2x-k=num+k \(就不合法 所以\) x < k $
所以最多走过k条边，走过k+1个点
如果走到了k+2个点，一定不合法
设dp[i][j][k]表示考虑到第i层，
右边的点到上方第一个拐点的距离为j，
左边的点只拐一次的最大距离为k的方案数
那么转移分四种情况讨论
左右都不选：
$ dp[i+1][0][0]=dp[i][j][k] $
左选右不选：
$ dp[i+1][0][k?k+1:0]=dp[i][j][k] $
如果上一层k为0，表示上一层没点或没拐过，k不会增加
右选左不选：
$ dp[i+1][j+1][0]=dp[i][j][k] $
左右都选：
$ dp[i+1][j+1][max(k+1,j+2)]=dp[i][j][k] $
因为k表示最大长度，左右都选的时候，k的长度可以从上面或者右边转移过来
最后的答案就是最后一层的合法方案总数
ac代码
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
#define N 310
using namespace std;
int p(int a,int b)
{
int sum=1;
while(b)
{
if(b&1)sum=1ll*sum*a%mod;
a=1ll*a*a%mod,b/=2;
}
return sum;
}
int n,m,ans,a[N],f[N][N][N];
int get_a(int x)
{
if(x>=0)return a[x];
if(-x<m)return p(2,m+x);
return 1;
}
int main()
{
freopen("seventeen.in","r",stdin);
freopen("seventeen.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
if(m&1)
{
f[0][0][0]=1;
int s=(m>>1)+((n+1)>>1),p=(n>>1),q=m+1,g=(m>>1);
for(int i=0;i<s;i++)for(int j=0;j<=p;j++)for(int k=0;k<=q;k++)
{
(f[i+1][0][0]+=f[i][j][k])%=mod;//都不选
if(i<p)(f[i+1][j+1][0]+=f[i][j][k])%=mod;//右选左不选
if(i>=g)(f[i+1][0][k?k+1:0]+=f[i][j][k])%=mod;//左选右不选
if(i<p&&i>=g)(f[i+1][j+1][max(j+2,k+1)]+=f[i][j][k])%=mod;//左右都选
}
for(int j=0;j<=p;j++)for(int k=0;k<=q;k++)
(ans+=f[s][j][k])%=mod;
printf("%d\n",ans);
}
else
{
n-=m,m/=2,a[0]=p(2,m);
int x=n/2,y=n-x;
for(int i=1;i<=y;i++)
a[i]=((2*a[i-1]-get_a(i-2-m))%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",1ll*a[x]*a[y]%mod);
}
return 0;
}