LightOJ1298 One Theorem, One Year （欧拉函数dp）

题意：给你almost-K-First-P-Prime, 如果一个数x有k个质因子，且这k个质因子包含且仅包含前p个质数满足条件。让你求Σφ(x)；

思路：首先我们这p个因子一定要有，也就是剩下k-p个因子是什么了，剩下的因子每个都可以取前p个质数中的任意一个。想到这就有一种背包的感觉，然后在不知道状态转移方程的情况下，我们知道状态转移方程中的选还是不选怎么更新，就要用到欧拉函数更新了：

φ(p)=p-1（p是质数）
φ(p*a)=(p-1)*φ(a)（p是质数且p不能整除a）
φ(p*a)=p*φ(a)（p是质数且p|a）

然后我就想到这。。。。开始搜索题解，对我来说太玄学了，看别人也没什么过渡，我是想不到。

dp[i][j]直接存的是答案，当一个质数没出现过，用到性质2，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] * (prime[j] - 1) ，一个质数出现过可以用性质3，dp[i][j] += dp[i-1][j] * prime[j]。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define met(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
const int N = 4000;
const ll mod = 1000000007;
bool vis[N];
ll prime[N], dp[505][505];
void get_prime(){
    int pos = 0; vis[1] = 1;
    for(ll i = 2; i <= 3600; i++){
        if(!vis[i]) prime[++pos] = i;
        for(ll j = 1; j <= pos && prime[j]*i <= 3600; j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

void init(){
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 500; i++){
        for(int j = 1; j <= i; j++){
            dp[i][j] += dp[i-1][j-1] * (prime[j] - 1) % mod;  //这个质数第一次被选
            if(i-1 >= j) dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-1][j]*prime[j])%mod; //这个质数之前选过
        }
    }
}

int main(){
    get_prime();
    init();
    int T, cas = 0; cin >> T;
    while(T--){
        int k, p;
        cin >> k >> p;
        printf("Case %d: %lld\n", ++cas, dp[k][p]);
    }
    return 0;
}

LightOJ1298 One Theorem, One Year （欧拉函数dp）

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