[BZOJ2716] [Violet 3]天使玩偶(CDQ分治)
题面
Ayu 在七年前曾经收到过一个天使玩偶，当时她把它当作时间囊埋在了地下。而七年后 的今天，Ayu 却忘了她把天使玩偶埋在了哪里，所以她决定仅凭一点模糊的记忆来寻找它。
我们把 Ayu 生活的小镇看作一个二维平面坐标系，而 Ayu 会不定时地记起可能在某个点 (xmy) 埋下了天使玩偶；或者 Ayu 会询问你，假如她在 (x,y) ，那么她离近的天使玩偶可能埋下的地方有多远。
因为 Ayu 只会沿着平行坐标轴的方向来行动，所以在这个问题里我们定义两个点之间的距离为dist(A,B)=|Ax-Bx|+|Ay-By|。其中 Ax 表示点 A的横坐标，其余类似。
分析
由于距离为曼哈顿距离，绝对值符号不好处理，我们考虑分类讨论。
假如答案在询问点A的左下方，那么距离为\(x_A-x_B+y_A-y_B=(x_A+y_A)-(x_B+y_B)\)
由于\(x_A+y_A\)为定值，我们要距离最小，只要在询问点A的左下方求一个\((x_B+y_B)\)最小的点即可。这是一个经典的cdq分治问题，这是一个经典的三维偏序问题，详情可参考[BZOJ 2683] 简单题 (CDQ分治)
其他情况怎么办呢？其实我们可以通过翻折点来避免分类讨论。假如所有点里最小的y坐标为ymin,我们把点以直线y=ymin对称，这样原来在A上方的点变成了原来在A下方的点，可以用上面的方法来处理。x坐标同理。因此我们只要改变坐标，然后跑CDQ分治即可。一共要跑4次CDQ分治
常数较大，注意卡常
代码
//分类讨论上下左右四种情况
//通过翻转坐标全部变成左下的情况
//min(x-x'+y-y')=x+y-max(x'+y')
//转化成三维偏序查最大值: x,y,时间都小的最大值
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2000000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define register
using namespace std;
inline void qread(int &x){
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
inline void qprint(int x){
if(x<0){
putchar('-');
qprint(-x);
}else if(x==0){
putchar('0');
return;
}else{
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
}
int n,m,cnt,qcnt;
struct node{
int a;
int b;
int c;
int type;
int id;
int ans;
node(){
}
node(int _a,int _b,int _c,int _type){
a=_a;
b=_b;
c=_c;
type=_type;
id=0;
ans=-INF;
}
node(int _a,int _b,int _c,int _type,int _id){
a=_a;
b=_b;
c=_c;
type=_type;
id=_id;
ans=-INF;
}
};
node q[maxn+5],dat[maxn+5];//dat保存翻转前的变量
int cmpa(node p,node q){
if(p.a==q.a){
if(p.b==q.b) return p.c<q.c;
else return p.b<q.b;
}else return p.a<q.a;
}
int cmpb(node p,node q){
if(p.b==q.b) return p.c<q.c;
else return p.b<q.b;
}
struct fenwick_tree{//树状数组可以维护前缀最大值，且常数小
int c[maxn+5];
inline int lowbit(int x){
return x&(-x);
}
inline void update(int pos,int val){
for(int i=pos;i<=cnt;i+=lowbit(i)) c[i]=max(c[i],val);
}
inline void clear(int pos){
for(int i=pos;i<=cnt;i+=lowbit(i)) c[i]=-INF;
}
inline int query(int pos){
int ans=-INF;
for( int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ans=max(ans,c[i]);
return ans;
}
}T;
node tmp[maxn+5];
void cdq_divide(int l,int r){
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
cdq_divide(l,mid);
cdq_divide(mid+1,r);
int ptr=l-1;
for(int i=mid+1;i<=r;i++){
if(q[i].type==2){//这样写有玄学优化作用，原因未知.
while(ptr<mid&&q[ptr+1].b<=q[i].b){
ptr++;
if(q[ptr].type==1) T.update(q[ptr].c,q[ptr].a+q[ptr].b);
}
q[i].ans=max(q[i].ans,T.query(q[i].c));
}
}
for(int i=l;i<=ptr;i++) if(q[i].type==1) T.clear(q[i].c);
int num=l-1;
int pl=l,pr=mid+1;
while(pl<=mid&&pr<=r){
if(cmpb(q[pl],q[pr])) tmp[++num]=q[pl++];
else tmp[++num]=q[pr++];
}
while(pl<=mid) tmp[++num]=q[pl++];
while(pr<=r) tmp[++num]=q[pr++];
for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i];
}
int res[maxn+5];
int main(){
int t,x,y;
int maxx,maxy,minx,miny;
maxx=maxy=-INF;
minx=miny=INF;
qread(n);
qread(m);
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(x);
qread(y);
cnt++;
q[cnt]=node(x,y,cnt,1);
maxx=max(maxx,x);
minx=min(minx,x);
maxy=max(maxy,y);
miny=min(miny,y);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
qread(t);
qread(x);
qread(y);
if(t==1){
cnt++;
q[cnt]=node(x,y,cnt,1);
}else{
cnt++;
qcnt++;
q[cnt]=node(x,y,cnt,2,qcnt);
}
maxx=max(maxx,x);
minx=min(minx,x);
maxy=max(maxy,y);
miny=min(miny,y);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) dat[i]=q[i];
for(int i=1;i<=qcnt;i++) res[i]=INF;
for(int i=1;i<=cnt;i++) T.c[i]=-INF;
sort(q+1,q+1+cnt,cmpa);//左下
cdq_divide(1,cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(q[i].type==2) res[q[i].id]=min(res[q[i].id],q[i].a+q[i].b-q[i].ans);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){//右下
q[i]=dat[i];
q[i].a=2*maxx-q[i].a;
}
sort(q+1,q+1+cnt,cmpa);
cdq_divide(1,cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(q[i].type==2) res[q[i].id]=min(res[q[i].id],q[i].a+q[i].b-q[i].ans);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){//左上
q[i]=dat[i];
q[i].b=2*maxy-q[i].b;
}
sort(q+1,q+1+cnt,cmpa);
cdq_divide(1,cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(q[i].type==2) res[q[i].id]=min(res[q[i].id],q[i].a+q[i].b-q[i].ans);
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){//右上
q[i]=dat[i];
q[i].a=2*maxx-q[i].a;
q[i].b=2*miny-q[i].b;
}
sort(q+1,q+1+cnt,cmpa);
cdq_divide(1,cnt);
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(q[i].type==2) res[q[i].id]=min(res[q[i].id],q[i].a+q[i].b-q[i].ans);
}
for(int i=1;i<=qcnt;i++){
qprint(res[i]);
putchar('\n');
}
}