icodelab 找朋友（P4397 [JLOI2014]聪明的燕姿）

描述

老师给每个同学一个号码牌，假设小明的号码牌上写着数字 S，那么其他那些手上的号码牌数字的所有正约数之和等于 S的同学就是小明的朋友。

输入

输入包含 k 组数据。 对于每组数据，输入包含一个数字S。

输出

对于每组数据，输出有两行，第一行包含一个整数 m，表示有 m 个小明的朋友。

第二行包含相应的 m 个数，表示小明朋友的手中的数字。

注意：你输出的数字必须按照升序排列。

输入样例 1

42

输出样例 1

3
20 26 41

提示

对于 100%的数据，k≤100, S≤2×10^9

思路

对于一个数 $N$ ，如果它的标准分解式为 N=p1a1p2a2p3a3…pnan 那么约数和

S=∏i=1n∑j=0aipijS=\begin{matrix} \prod_{i=1}^n \end{matrix}\begin{matrix} \sum_{j=0}^{a_i} {p_i}^j \end{matrix}（ p1p_1 、 p2​ 、… pn为质数）

因为 S<=2∗109S<=2*10^9，然后多试几组数据就会发现 NN， 、SS同级，所以 pi≤S{p_i}\leq\sqrt{S}

于是考虑暴搜，先筛出 ≤S\leq\sqrt{S}

​ 的所有质数，先枚举 pi，对于每个 pip_i，枚举 aia_i暴搜，如果搜到$S==1$ 的话，答案++

特别的，如果 S−1S-1为质数，且 $\ge$ 当前要搜的质数，答案也要++，此时的数为

已搜出的数*（ S−1S-1）

代码：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1000010; 

long long q;
bool vis[N+5];
int m,flag=0,tot=0;
int a[(N+5)<<2],pr[N+5];

bool check(int x) {
	if(x==1)
		return 0;
	if(x<=N)
		return !vis[x];
	for(int i=1; pr[i]*pr[i]<=x; ++i)
		if(x%pr[i]==0) return 0;
	return 1;
}

void dfs(long long now,int x,long long y) {
	if(now==1) {
		a[++flag]=y;
		return;
	}
	if(now-1>=pr[x] && check(now-1))
		a[++flag]=y*(now-1);
	int i;
	long long p,tmp;
	for(i=x; pr[i]*pr[i]<=now; ++i) {
		tmp=pr[i];
		p=pr[i]+1;
		for(; p<=now; tmp*=pr[i],p+=tmp)
			if(now%p==0)
				dfs(now/p,i+1,y*tmp);
	}
	return;
}

int main() {
	for(int i=2; i<=N; i++) {
		if(!vis[i])
			pr[++tot]=i;
		for(int j=1; j<=tot&&i*pr[j]<=N; j++) {
			vis[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0)
				break;
		}
	}
	while(~scanf("%d",&m)) {
		q=sqrt(m);
		memset(a,0,sizeof(a));
		flag=0;
		dfs(1LL*m,1,1LL);
		printf("%d\n",flag);
		sort(a+1,a+flag+1);
		for(int i=1; i<flag; i++)
			printf("%d ",a[i]);
		if(flag)
			printf("%d\n",a[flag]);
	}
	return 0;
}

对于一个数$N$，如果它的标准分解式为$$N=p^1{p}^2{p}^3\dots p^n$$ 那么约数和

$S=\begin{array}{c}{\prod }^{i=1}\end{array}\begin{array}{c}{\sum }^{j=0}{p^i}^j\end{array}$（$p^1$、$p^2$、…$p^n$为质数）

因为$S<=2\ast 10^9$，然后多试几组数据就会发现$N$、$S$同级，所以$p^i\le \sqrt{S}$

​ 于是考虑暴搜，先筛出$\le \sqrt{S}$

​的所有质数，先枚举 $p^i$，对于每个$p^i$，枚举$a^i$暴搜，如果搜到$S==1$的话，答案+1

特别的，如果$S-1$为质数，且$S-1\ge$当前要搜的质数，答案也要+1，此时的数为

已搜出的数*（$S-1$）