题意
一个长度为 $n$ 的字符串，第 $i$ 位有 $p_i$ 的概率是 $1$，否则是 $0$。一个字符串的分数定义为：对于字符串中每一个极长的连续一段 $1$，设这段 $1$ 的长度为 $x$，分数累加 $x^3$。
求字符串的期望分数。
题解
考虑分数累加 $x^3$ 而不是 $x$ 时怎么做。
设 $f_{i,j}$ 表示分数累加 $x$ 的 $j$ 次方时，第 $1$ 到 $i$ 位的期望分数。
则 $f_{i,1}$ 的转移显然为 $f_{i,1} = (1-p_i)\times f_{i-1,1} + p_i\times (f_{i-1,1}+1)$。
就是分两种情况：放 $0$，结束前面连续的一段 $1$（前面连续的一段 $1$ 的长度可能是 $0$）；放 $1$，延长前面连续的一段 $1$（前面可能是 $0$，那就是新起一段 $1$）。
我们在转移 $f_{i,3}$ 时再考虑断的情况，所以把放 $1$ 的转移提出来。设 $g_{i,j}=p_i\times (g_{i-1,j}+1)$，显然这就是当前连续的一段 $1$ 的期望分数。
然后考虑 $f_{i,2}$，我们发现 $f_{i,2} = f_{i-1,2}\times (1-p_i) + (f_{i-1,2}+?)\times p_i$
$?$ 就是成功连接所增加的分数，这里显然不是 $1$，我们考虑怎么表示它。
我们发现 $(g_{i,1}+1)^2=g_{i,1}^2+2g_{i,1}+1$，而 $g_{i,1}^2=g_{i,2}$，于是 $(f_{i,2}+?)$ 显然等于 $