点分治小结

最近学了学点分治，毕竟OJ上都搞了个专题了。

引入

以一个点为界限，将一棵树分成若干个子树，当划分到一定规模，就对每个子树分别进行求解

我们为了保证时间，所以要使子树大小尽量小。
如何找到最优的点呢？就是重心！

重心

重心是什么？

树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。——百度百科

算法流程

1.求当前树重心。
2.计算答案。
3.走到相邻未操作的节点进行第1步。

求重心

暴力\(O(n)\)，找到一个点，使得所连子树的大小的最大值最小。
\(bz\)数组表示其有没有走过（走过就不是当前树了）

void getrt(int x, int fa)
{
    siz[x] = 1; son[x] = 0;
    for (int p = tail[x], v; p; p = e[p].fr)
    {
        v = e[p].v;
        if (v == fa || bz[v]) continue;
        getrt(v, x);
        if (son[x] < siz[v]) son[x] = siz[v];
        siz[x] += siz[v];
    }
    if (son[x] < tot - siz[x]) son[x] = tot - siz[x];
    if (son[x] < son[rt]) rt = x;
}

时间复杂度

可证明为\(O(log^n_2)\)。
由于重心有一个性质：
树的重心的每棵子树大小一定小于等于\(n/2\)。
所以就可以证明啦。

例题

详见OJ