[Solution] [IOI1998]Polygon

区间DP

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• 和石子合并类似。新增了乘法运算符。

• 思路：

  • 拆环为链

    • t -7 t 4 x 2 x 5  --->   t -7 t 4 x 2 x 5 t -7 t 4 x 2 x 5

    • 这么干的好处是，不用考虑圆环的首尾相接处的特殊处理。

  • 状态设计

    • \(F[L][L+N]\)就是拆除了边\(L\)后的最佳结果。
    • 对于乘法来说，有的规则似乎不适用。例如 负负得正。但是，经过一些简单的数学推导可以得出，最大值可能来自于两个小负数相乘，或者两个大证书相乘。
    • 进一步归纳，就是 同号两数相乘，且两数绝对值较大 。
    • \(FMax]][]\)和\(FMin[][]\)分别维护绝对值最大的正数和负数。

  • 状态转移

    • 对于加法，按照普遍的经验即可。
    • 重点是乘法，牢记同号得正，异号得负。

• 参考代码及注释

  #include <stdio.h>
  #include <string.h>
  #define Clean(X,K) memset(X,K,sizeof(X))
  #define GC getchar()
  #define Min(X,Y) (X<Y?X:Y)
  #define Max(X,Y) (X>Y?X:Y)
  
  int Qread () {
    int X = 0 , F = 1;
    char C = GC ;
    while (C > '9' || C < '0') {
        if (C == '-') F = -1 ;
        C = GC ;
    }
    while (C >='0' && C <='9') {
        X = X * 10 + C - '0' ;
        C = GC ;
    }
    return X *F ;
  }
  
  const int Maxn = 52 , INF = 20021020;
  int N , A[Maxn << 1] , F_Max[Maxn << 1][Maxn << 1] , F_Min[Maxn << 1][Maxn << 1];
  char O[Maxn << 1];
  /*
  变量名解释
  A[]:原始数据
  O[]:原始运算符 
  F_Max[Maxn << 1][Maxn << 1] , F_Min[Maxn << 1][Maxn << 1]：分别维护绝对值最大的正数和负数 
  */
  int main () {
    Clean (F_Max , ~0x3f) , Clean (F_Min , 0x3f) ;
  
  //    freopen ("Polygon.txt" , "r" , stdin) ;
    N = Qread () ;
    for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) {
        do {
            O[i] = O[i + N] = GC ;
        } while (O[i] != 't' && O[i] != 'x');
        A[i] = A[i + N] = F_Max[i][i] = F_Min[i][i] = F_Max[i + N][i + N] = F_Min[i + N][i + N] = Qread () ;
    }
  
    for (int Len = 2 ; Len <= N ; ++ Len) {
        for (int St = 1 ; St <= (N << 1) - Len; ++ St) {
            for (int K = St ; K < St + Len - 1 ; ++ K) {
                /*
                Len ： 枚举区间的长度
                St ：区间的左端点
                K ：把区间分成 [St,K]和[K + 1,St + Len - 1]两部分 
                */
                if (O[K + 1] == 't') {
                    F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] + F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
                    F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] + F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
                } else {
                    F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] * F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
                    F_Max[St][St + Len - 1] = Max (F_Max[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] * F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
                    //负负得正，取得较大值 
                    F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Max[St][K] * F_Min[K + 1][St + Len - 1]) ;
                    F_Min[St][St + Len - 1] = Min (F_Min[St][St + Len - 1] , F_Min[St][K] * F_Max[K + 1][St + Len - 1]) ;
                    //正负得负，取得较小值 
                }
            }
        }
    }
  
    int Ans = -INF ;
    for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) Ans = Max (Ans , F_Max[i][i + N - 1]) ;
    printf ("%d\n" , Ans) ;
    for (int i = 1 ; i <= N; ++ i) if (Ans == F_Max[i][i + N - 1]) printf ("%d " , i) ;
    fclose (stdin) , fclose (stdout) ;
    return 0 ;
  }

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