【数据结构】 线段树

……线段树可是一个高端的东西。

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一、啥是线段树

信息迅速发端的现在，人们已经发明出一个又一个算法以及数据结构。当人们嫌人眼校对会有错误，又会引起眼神疲劳时，人们发明了KMP；当人们嫌前缀和麻烦，效率不够，不能修改时，人们想到了树状数组；当人么又嫌树状数组只能单点修改不能区间修改时，人们，人们，人们，又想到了————

$线段树$

没错，线段树就是一个支持区间修改和区间查询的一个高级数据结构，在修改和查询中复杂度已经超过了分块成功的到达了 $log(n)$的级别，算是非常快了。

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二、线段树的思想

线段树的思想类似于分治，就是不停地将一个区间分成一个又一个小区间，类似于分块，但显然更优。

例如对于一个 $[1,10]$的区间，他的图如下：

虽然有点模糊，不过大体是能够看清楚的。

他分区间的过程类似如下：
$[1,10](mid=5)\ ->\ [1,5]\ \&\&\ [6,10]$
$[6,10](mid=8)\ ->\ [6,8]\ \&\&\ [9,10]$
$[1,5](mid=3)\ ->\ [1,3]\ \&\&\ [4,5]$
$[6,8](mid=7)\ ->\ [6,7]\ \&\&\ [8,8]$
$………………………………………………$

就是一直递归，二分的过程。

同时，它每一个点代表的都是一个区间，也能代表一个区间的和以及极值，这也为我们求区间极值或者区间和提供了一个方法。（balabla）

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三、线段树的基本操作

一、建树（可能不需要）
如果是建树，题目中一般会给点权或者边权，有了这些基础的数值，就有了建树的内容。
我们以这题为例。
题目给了每个点的点权，同时也要求我们求区间内的数值和，也就是边权和，所以我们在建图时就可以把初始的区间的权值和给求好，这样我们求修改后的数值就会方便多了。

建图不难建，只需要我们用搜索建图即可。

Code

LL build(int x,int l,int r){
	if (l==r) return tr[x].sum=num[l];//单独的权值
	int mid=l+r>>1;
	tr[x].sum+=build(x<<1,l,mid)+build(x<<1|1,mid+1,r);//将区间和累加上
	return tr[x].sum;
}

当然也有求最大值的，只需要将代码稍微改变一下即可

Code

LL build(int x,int l,int r){
	if (l==r) return tr[x].Max=num[l];//单独的权值
	int mid=l+r>>1;
	tr[x].Max=max(build(x<<1,l,mid),build(x<<1|1,mid+1,r));//将区间和累加上
	return tr[x].sum;
}

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二、区间修改
区间修改有点麻烦，一般都是在 $[x,y]$区间内每个 元素加上 $k$。
还是这张图为例：

• 假设我们要改变 $[1,3]$的值，我们就可以直接在 $[1,3]$出进行修改
• 假设我们要改变 $[1,7]$的值，那么我们就需要改变 $[1,5]$的值和 $[6,7]$的值。

这是我们就需要用一个 $lazy\ tag(懒标记)$
为什么说是懒标记呢？那是因为一般的改变都是直接对原值进行 改变，但是lazy tag确实对一个区间加上一个需要改变的值。
什么意思呢？
我们假设要在 $[1,3]$加上一个值3
一般的程序是直接将三个数直接加上3，但是lazy tag确实在 $[1,3]$节点上加上一个3的标记，表示当前点所包含的区间需要加上数值3，有了这个标记之后，我们就可以在递归的时候顺便将值待下去，不需要多耗费时间，时间自然也节省了。

那么还是以这题的修改为例

Code

void change(int x,int l,int r){
	if (l>R || r<L) return;
	if (l>=L&&r<=R){
		tr[x].tag+=k;//tag加上k
		tr[x].sum+=(r-l+1)*k;//区间加上那么多
		return;
	}
	int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
	if (tr[x].tag){
		tr[ls].tag+=tr[x].tag;
		tr[rs].tag+=tr[x].tag;
		tr[ls].sum+=(mid-l+1)*tr[x].tag;
		tr[rs].sum+=(r-mid)*tr[x].tag;
		tr[x].tag=0;//别忘了赋0
	}//对子区间进行改变
	change(ls,l,mid);
	change(rs,mid+1,r);
	tr[x].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;/返回的时候重新累加上
	return;
}

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三、区间查询
区间查询挺好做，仍然是递归。
只不过在求和时还需要在进行一下 $pushdown\ (对子区间进行改变)$操作，因为在 $change$时很可能因为查询到了该区间而并没有继续往下改变，在查询时就会出问题，所以我们就要进行一次操作。其他的就按照dfs返回值即可。

那么仍然是这题

Code

LL findsum(int x,int l,int r){
	if (l>R || r<L) return 0;
	if (l>=L && r<=R) return  tr[x].sum;//如果包含区间，直接返回
	int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
	if (tr[x].tag){
		tr[ls].tag+=tr[x].tag;
		tr[rs].tag+=tr[x].tag;
		tr[ls].sum+=(mid-l+1)*tr[x].tag;
		tr[rs].sum+=(r-mid)*tr[x].tag;
		tr[x].tag=0;
	}//修改
	return findsum(ls,l,mid)+findsum(rs,mid+1,r);//直接返回
}

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例题精讲

因为我目前仍然没有做多少线段树的题目，所以还是只能这题了。。

那么将之前的三个代码合并一下就变成了完整的代码

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
struct node{
	LL sum,tag;
}tr[400010];
LL num[400010];
LL k;
int n,m,L,R;
LL build(int x,int l,int r){
	if (l==r) return tr[x].sum=num[l];
	int mid=l+r>>1;
	tr[x].sum+=build(x<<1,l,mid)+build(x<<1|1,mid+1,r);
	return tr[x].sum;
}
void change(int x,int l,int r){
	if (l>R || r<L) return;
	if (l>=L&&r<=R){
		tr[x].tag+=k;
		tr[x].sum+=(r-l+1)*k;
		return;
	}
	int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
	if (tr[x].tag){
		tr[ls].tag+=tr[x].tag;
		tr[rs].tag+=tr[x].tag;
		tr[ls].sum+=(mid-l+1)*tr[x].tag;
		tr[rs].sum+=(r-mid)*tr[x].tag;
		tr[x].tag=0;
	}
	change(ls,l,mid);
	change(rs,mid+1,r);
	tr[x].sum=tr[ls].sum+tr[rs].sum;
	return;
}
LL findsum(int x,int l,int r){
	if (l>R || r<L) return 0;
	if (l>=L && r<=R) return  tr[x].sum;
	int ls=x<<1,rs=x<<1|1,mid=l+r>>1;
	if (tr[x].tag){
		tr[ls].tag+=tr[x].tag;
		tr[rs].tag+=tr[x].tag;
		tr[ls].sum+=(mid-l+1)*tr[x].tag;
		tr[rs].sum+=(r-mid)*tr[x].tag;
		tr[x].tag=0;
	}
	return findsum(ls,l,mid)+findsum(rs,mid+1,r);
}
int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&num[i]);
	build(1,1,n);
	for (int i=1,o;i<=m;i++){
		scanf("%d %d %d",&o,&L,&R);
		if (o==1) scanf("%lld",&k),change(1,1,n);
		else printf("%lld\n",findsum(1,1,n));
	}
//	for (int i=1;i<=9;i++)
//	  cout<<tr[i].sum<<endl;
	return 0;
}

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