[JZOJ6244]【NOI2019模拟2019.7.1】Trominoes 【计数】

Description

n,m<=10000

Solution

考虑暴力轮廓线DP，按顺序放骨牌
显然轮廓线长度为N+M
轮廓线也是单调的
1表示向上，0表示向右
N个1,M个0
只能放四种骨牌
四种转移写出来，就是

1000 0001
1110 0111
1010 0011
1100 0101

相当与一个1和后面3格的一个0换过来，中间不变
把模3相同的分组， 转换成只换相邻的10
再把它看作轮廓线，相当与每次只能放1×1的骨牌，问拓扑序个数
利用杨氏矩阵的钩子定理
就是矩阵大小的阶乘除以每个位置向右向下的位置个数和之积
最后再乘个组合数表示选的顺序
此时我们发现组合数约掉了，只剩下一个n×m的阶乘
直接计算即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef long long LL;
const int mo=1000000007;
using namespace std;
int n,m,r,c[3][2],js[33333333];
LL ksm(LL k,LL n)
{
    LL s=1;
    for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo;
    return s;
}
LL calc(int p)
{
    int n=c[p][0],m=c[p][1];
    LL s=1;
    fo(i,1,n+m-1)
    {
        LL nv=ksm(i,mo-2),ct=max(0,min(m-1,i-1)-max(0,i-n)+1);
        s=s*ksm(nv,ct)%mo;      
    }
    return s;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    int R=33333332;
    js[0]=1;
    fo(i,1,R) js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        memset(c,0,sizeof(c));
        fo(i,0,n-1) c[i%3][0]++;        
        fo(i,n,n+m-1) c[i%3][1]++;
        r=max(max(c[0][0]*c[0][1],c[1][0]*c[1][1]),c[2][0]*c[2][1]);
        LL v=1;
        int e=c[0][0]*c[0][1]+c[1][0]*c[1][1]+c[2][0]*c[2][1];
        printf("%lld\n",calc(0)*calc(1)%mo*calc(2)%mo*js[e]%mo);
    }
}