快速乘学习笔记

背景：

今天我才发现快速乘有 $\Theta(1)$的做法。

正题：

快速乘解决的是 $x*y \mod p$的问题。
有时 $x,y,p$特别大，

$\Theta(\log n)$：

原理：
$y≡0(\mod2):x*y \mod p=2*x*\frac{y}{2}\mod p$
$y≡1(\mod2):x*y \mod p=(2*x*\lfloor\frac{y}{2}\rfloor+y)\mod p$
写成递归或递推的形式，在每一个可以的位置上 $\mod p$即可。
注意： $a \mod b$的结果符号由 $a$确定，因此 $x*y\mod p$的结果符号由 $x*y$确定。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
	LL x,y,mod;
LL dg(LL x,LL y,LL mod)
{
	if(y==1) return x;
	LL op=dg(x,y>>1,mod);
	if(y&1) return (op*2%mod+x)%mod; else return op*2%mod;
}
int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&mod);
	int op=((x<0&&y>0)||(x>0&&y<0));
	printf("%lld\n",(op?-1ll:1ll)*dg(abs(x),abs(y),abs(mod)));
}

$\Theta(1)$：

原理：
$x*y\mod p=(x*y-\lfloor\frac{x*y}{p}\rfloor*p)\mod p$
此时，我们的过程量用 $\text{long double}$来存储即可。
注意： $a \mod b$的结果符号由 $a$确定，因此 $x*y\mod p$的结果符号由 $x*y$确定。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
	LL x,y,mod;
LL times(LL x,LL y,LL mod)
{
	LD t=LD(x)*LD(y)-LL(LD(x)*LD(y)/LD(mod))*LD(mod);
	LL tt=(LL)t;
	return tt>=0?tt%mod:(tt+mod)%mod;
}
int main()
{
	scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&mod);
	int op=((x<0&&y>0)||(x>0&&y<0));
	printf("%lld\n",(op?-1ll:1ll)*times(abs(x),abs(y),abs(mod)));
}