设A是m*n实矩阵，证明：R(A'A)=R(AA')=R(A)

来源：https://zhidao.baidu.com/question/305821710.html?qbl=relate_question_0&word=r%28A%29%3Dr%28A%A1%E4A%29

这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法
显然,  AX=0 的解都是 A'AX=0 的解.
反之, 若X1是 A'AX=0的解
则 A'AX1=0
所以 X1'A'AX1=0
故  (AX1)'(AX1)=0
所以有 AX1=0
即  A'AX=0 的解是 AX=0 的解
故 AX=0 与 A'AX=0 同解
所以 r(A) = r(A'A).

同理有 r(A') = r((A')'A') = r(AA')
而 r(A') = r(A)
所以 r(A)=r(A'A)=r(AA').

参考：

《高等代数学》（教材 复旦第二版）（姚慕生）复习题三第17、19题

实对称阵可对角化的几种证明 https://www.cnblogs.com/torsor/p/6785447.html