音视频学习笔记-向量理解

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/shengpeng3344/article/details/91450197

大学没有好好学习线性代数，无奈只能再次复习。
推荐一本书 《3D数学基础：图形与游戏开发》

向量

数学定义

对于数学家而言，向量就是一个数字列表，对于程序员而言则是另一种相似的概念-数组

向量与标量

数学上区分向量和标量，“速度”和“位移”是向量，而“速率”和“长度”是标量。

向量的维度

向量的维度就是向量包含的“数”的数目，有一维、二维、三维、四维向量。下列各图分别表示：



图4的 $C_w$表示缩放因子，在OpenGL图像渲染中

位置与位移

向量没有位置，只有大小和方向。
例如：

• 位移：“向前走三步”，这句话听上去是关于位置的，但其实句子中使用的量表示的是相对位移，而不是绝对位置。这个相对位移由大小（三步）和方向（向前）构成，所以它能用向量表示。
• 速度：“我们以50英里每小时的速度向北行驶”，这句话描述了一个量，它有大小（50英里每小时）和方向（北），但没有具体位置。“50英里每小时的速度向北”能用向量表示。
  注意：位移、速度与距离、速率是完全不同的两种定义。位移和速度是向量，包含方向，而距离和速率是标量，不指明任何方向。
  
  所以，记住：上图的向量，只有箭头的长度和方向是有意义的，不包括位置。

向量运算

负向量

向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量

运算法则：

-[x,y] = [-x,-y]
-[x,y,z] = [-x,-y,-z]
-[x,y,z,w] = [-x,-y,-z,-w]
…

向量大小

运算法则

加法

向量a和向量b相加的几何解释为，平移向量，使得向量a的头指向向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”。

点乘

$a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y (a和b是2D向量)$
$a\cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z(a和b是3D向量)$
从上述公式中可以看出，点乘满足交换率。
点乘是得到的标量，并满足交换律，所以我们在OpenGL中需要矩阵效果叠加不能使用点乘。

几何解释

点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的乘积

$a·b =|a||b|\cos \theta$

向量投影

根据上面取得的夹角，就可以根据点乘计算投影

向量的叉乘

叉乘得到的是垂直于原来的两个向量的一个向量，称之为法向量

图中，a,b在一个平面， $a \times b$指向该平面的正上方，垂直于a和b

通过把平行四边形一段切下来组成正方形计算

如果a、b平行或任意一个为0，则 $a \times b = 0$,所以，叉乘对零向量的定义是：它平行于任意其他向量。
已经证明 $a \times b$垂直于a、b,但是垂直于a、b有两个方向，如何判断？通过将a的头和b的尾相连，并检查从a到b是顺时针还是逆时针，就能确定法线的方向。
在左手坐标系中，如果a和b呈顺时针，那么法向量指向您，如果a和b呈逆时针，那么法向量远离你。
在右手坐标系中，如果a和b呈逆时针，那么法向量指向你，如果a和b呈顺时针，那么法向量远离你。