首先我们可以写出奇数和偶数的EGF：
\[ODD(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...\]
\[EVEN(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...\]
所以有：
\[ODD(x)+EVEN(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{x^i}{i!}=e^x\]
\[ODD(x)-EVEN(x)=-\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(-x)^i}{i!}=-e^{-x}\]
可以解出：
\[ODD(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\]
\[EVEN(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]