产生纠缠态的三种方式（已过时）

原子级联实验

在CHSH不等式提出之后，对于EPR和Bell不等式验证的困难已经从理论上转移到了如何产生可靠的纠缠态。Clauser在提出CHSH不等式之后就开始与他人合作或是自己独立地开始了实验制备纠缠态的研究。1972年，在S.J.Freeman的帮助下，他们利用原子级联产生了处于偏振纠缠的双光子。具体的实验原理是：钙原子束从钽炉中发射出来，在227.5nm的光作用下把处于4s2( $^1S_0$)态的最外层电子激发到了3d4p( $^1P_1$)态上， 之后该原子大约7%的概率跃迁到4p2( $^1S_0$)态上。之后电子会通过两次连续的跃迁（中间的亚稳态为4p4s态, $^1P_1$，寿命大约是5ns）分别产生两个551.3nm和422.7nm的光子背对背射出。这两个光子就是偏振纠缠的。从角动量上看，因为是从 $J=0\rightarrow J=1\rightarrow J=0$态的跃迁，因此这两个光子满足角动量守恒，而从使得它们偏振纠缠。对于不同的偏振角度差的同时测量的概率在理论上应当是满足 $R(\theta)\propto\cos^2\theta$. 实验结果与预测相符。 同时，他们发现了 $0.050\pm0.008$的与CHSH不等式的不相符。

类似的实验之后又由Holt和Piplrin于1973年, Clauser于1976年, Fry和Thompson于1976年做过，结果尤以Holt和Piplrin的结果最好，完全符合了量子力学的预测。

但是，虽然这套实验装置成功的测量了Bell不等式，它作为一个纠缠源仍然是不合格的，因为两次跃迁产生的两个光子它们的波长不同，同时有一定的时间差使得时间相干性不好，同时如果不能背对背地收集到光子而是有一定的角度，它们的相干性就变得很差。

利用参量下转换产生纠缠光

参量下转换是之后人们常用产生纠缠光的方法，它源于人们使用光与块状材料相互作用的非线性过程中。因此本部分主要介绍如何使用参量下转换产生纠缠光。

光与物质的相互作用一直是物理学研究的重点。人们通过光探查到了原子内部非常复杂的各种结构，却很少注意到他们间非线性的影响（尤其是光的独立传播和线性叠加不再成立的现象）。这其中主要的原因是原子内部的电场远远大于光电场。原子内部的电场的大小大约是 $3\times10^{10}V/m$。直到1960年激光的发明极大的提高了光电场的大小，使人们可以看到非线性效应。
$\begin{aligned} P&=\epsilon_0\chi^{(1)}\cdot E+\epsilon_0\chi^{(2)}: EE + \cdots\\ &=P^{(1)}+P^{(2)}+\cdots \end{aligned}$
在经典电磁场理论中，电磁波与物质的相互作用看作是电场的极化。上式中的第一项代表了线性部分，也被叫做经典的部分。其余的部分被认作是非线性部分。理论可以证明：
$\left|\frac{P^{(r+1)}}{P^{(r)}}\right|\approx\left|\frac{E}{E_{atom}}\right|$
第一个发现非线性效应的是Franken在1961年利用红宝石激光发现的二次谐波（SHG）。它主要是由于二阶非线性系数 $\chi^{(2)}$导致的。这种效应可以用一阶非线性波方程来描述，是三波耦合的过程。它意味着电场由两个不同的频率组成。当各项同性的时候：
$E(t)=E_1e^{-i\omega_1}+E_2e^{-\omega_2t}+c.c.\\ P^{(2)}(t)=\epsilon_0\chi^{(2)}E^2(t)=\sum P(\omega_n)e^{-i\omega_n t}$
其中包括了两个倍频过程 $P(2\omega_1)=\epsilon_0\chi^{(2)}E_1^2$和 $P(2\omega_1)=\epsilon_0\chi^{(2)}E_2^2$。
和频过程和差频过程 $P(\omega_1+\omega_2)=2\epsilon_0\chi^{(2)}E_1E_2$和 $P(\omega_1-\omega_2)=2\epsilon_0\chi^{(2)}E_1E_2^*$。
以及一个整流过程 $P(0)=2\epsilon_0\chi^{(2)}(E_1E_1^*+E_2E_2^*)$。

但是对于大多数有用的非线性过程都是在各向异性的晶体中产生的。所谓各向异性的晶体就是指该晶体具有一个（或两个）自然方向（常常为晶轴的方向）它使得该晶体在不同方向上的物理性质不同。它主要是取决于晶体的组成结构。关于晶体的结构人们已经发现所有的结构都是这七大晶系或其同构组成：立方，三角，四方，六角，三斜，单斜，正交。其中，立方结构具有各向同性的特点。而三角，四方，六角结构具有一个方向的晶轴，被叫做单轴晶体。三斜，单斜，正交具有两个方向的晶轴，被叫做双轴晶体。而他们都能产生所谓的双折射现象。双折射现象概括出来仍然与晶体的各向异性有关。由于晶体的各项异性，因此x,y,z方向的折射率不同，导致不同偏振的光（光电场的振动方向不同）的传播速度不同。对于这两种光，我们常常把它们称作是o光和e光。如果是同方向传播，在经历了相同的传播距离后就会产生相位差。如果是不同方向传播，就会因为折射率的不同而把光分为两束。在实验上也常常利用他们的这些性质制作了波片等常用的设备。

当考虑到各向异性的时候，二阶非线性系数的影响将变得非常复杂。首先二阶非线性系数将不再是一个数，而变为了一个二阶张量。其次，各个方向的情况也不再由本方向的相关量所决定，而会是存在其他方向的量的作用。经计算得：
$\frac{\partial E_1(z)}{\partial z}=i\frac{\omega_1}{cn_1}\chi^{(2)}(\omega_1)E_2^*E_3e^{i\Delta kz}\\ \frac{\partial E_2(z)}{\partial z}=i\frac{\omega_2}{cn_1}\chi^{(2)}(\omega_1)E_3^*E_1e^{i\Delta kz}\\ \frac{\partial E_3(z)}{\partial z}=i\frac{\omega_3}{cn_1}\chi^{(2)}(\omega_1)E_1^*E_2e^{i\Delta kz}$
相位匹配 如上的方程中的 $\Delta k$代表的就是相位失配角，表示的是相位失配的程度。对于被动的非线性过程来说，必然要满足能量守恒和动量守恒，（如和频过程）即：
$\hbar\omega_1+\hbar\omega_2=\hbar\omega_3\\ \hbar \bold{k}_1+\hbar \bold{k}_2=\hbar \bold{k}_3$
那么相位失配因子就是 $\Delta k=k_3-k_2-k_1$. 显然上式是对特定的非线性过程成立的，因此它可以作为非线性过程的筛选器，使得我们需要的非线性过程在众多非线性过程中凸显出来。在1961年Franken发现的SHG的产生效率只有10^-8。因此对于利用一些对于晶体的处理相位匹配技术可以显著的提高效率。

以倍频过程为例，倍频过程的相位匹配条件是 $2k_1=k_2$。 根据公式 $k=\frac{\omega}{c}n$可以得到，由于相位匹配条件的限制，我们需要：
$n_\omega=n_{2\omega}$
如何做到这点呢？一般是有两种方法：1. 是利用晶体切割的角度。2. 是利用温度。一般来讲，不同的频率有不同的折射率，这意味着上式难以满足对于各向同性的介质来说。可是面对各向异性晶体时，必然存在两个垂直的偏振方向它们具有不同的折射率，如果我们可以找到合适的切割角度使得下式成立，就可以满足相位匹配条件：
$n_{\parallel}(\omega)=n_{\perp}(2\omega)$
如果该介质是单轴晶体，那么它的折射率椭球方程为：
$\frac{x^2}{n_o^2}+\frac{y^2}{n_o^2}+\frac{z^2}{n_e^2}=1$
如果光波失的方向与z轴的夹角为 $\theta$。z轴方向也是晶体的晶轴方向。非常光的偏振方向在k与z所组成的平面内，平常光的偏振方向垂直与k-z平面。我们很容易得到下式（对于负晶）：
$\sin^2\theta_m=(\frac{n_e^{2\omega}}{n_o^{\omega}})\frac{(n_o^{2\omega})^2-(n_o^{\omega})^2}{(n_o^{2\omega})^2-(n_e^{2\omega})^2}$
例如在负单轴晶体KDP中，用694.3nm的红宝石激光在夹角50.4度的条件下可以得到347.1nm的寻常光。同理，我们可以理解参量下转换。它是和频过程的逆过程。其相位匹配条件为 $k_3=k_1+k_2$. 一般是通过一个UV的泵浦光同时得到两个低频率的光子。如果得到的两个光子都是同样的偏振方向的被称为 type I 相位匹配，如果得到的是两个垂直方向的光则被称为 type II 相位匹配。如果产生的两个光子是共线的，则成为共线相位匹配；反之，如果是不共线的，则称为非共线相位匹配。

利用type II 非共线相位匹配去制作纠缠态的最经典例子发表在1995年的《物理评论快报》上。这篇文章的是在共线相位匹配上做的调整。对于实验上使用的BBO晶体来说，o光可能的范围是一个圆锥，e光可行的范围是另一个圆锥，当两个圆锥相切或是相交与一点时，那么这点产生的光就是共线的o光和e光。但是随着切割角的变大，使两个圆锥相交于两点，对于同时产生的两个光子而言，必然是一个来自与上圆锥，另一个来自于下圆锥。可是来自上圆锥的光子也可能从左交点射出，如果这样的话另一个光子从右焦点射出；反之亦然。因此，在理想情况下，我们无法区分我们同时从左右两焦点获得的光子究竟是哪个来自上圆锥，哪个来自下圆锥，因此根据量子力学原理，我们获得的态应是上述两种状态的叠加态：
$\Phi=|HV\rangle+e^{i\alpha}|VH\rangle$
其中 $\alpha$指的是由于晶体的双折射效应导致的相位差。在这个实验中他们测到了对于Bell不等式100个标准差的矛盾。

利用后选择方法去产生纠缠态

当人们开始从原理级联的方式转移到使用参数下转换之后，首先想到的不是像1995年那篇一样对晶体进行切割上的创新，而是直接利用成熟的非共线 Type II 相位匹配，利用一个uv的泵浦光去产生两个同频率垂直偏振的光子。可是仅仅是产生两个同频率且垂直偏振的光子并不能是我们我们得到相互纠缠的两光子。如果我们想要得到形如 $|HV\rangle+|VH\rangle$， 便需要构造出无法区分的两种情况，并最终在两个端口中收集。1988年，有人利用分光镜(beam splitter, BS)加上后选择实现了该态的制备。

分光镜BS的原理是，无论一束光从什么方向打向分光镜，它都有50%的概率使光继续沿原方向前进，同时还有50%的概率使光发生反射。因此，当H态的光从上向下打向分光镜，V态的光从下向上打向分光镜，我们利用两个端口去收集产生的光。因此下列四种情况会等概率的出现：1. 1端口H态，2端口V态；2. 1端口V态，2端口H态；3. 1端口H态，V态2个光子，2端口无光；4. 2端口H态，V态两个光子，1端口无光。因此产生的态可以记为：
$|\Phi\rangle=|H_1V_2\rangle+|H_2V_1\rangle-|H_1V_1\rangle-|H_2V_2\rangle$
负号来自当光从分光器反射后会具有 $\pi$的相位差，而穿过分光器则不会。因此，当两个光子都穿过或是都反射则不会带来相位差，而一个光子反射另一个光子穿过的话则需要引入一个负号。结果如上式会发现其中不仅包括我们需要的部分（前两项），同时还有我们需要的部分（后两项）。这时候利用后选择（post-selection）就可以去除前两项。所谓的后选择其实指的是利用测量的方法使得我们对态的一些改变，在这个例子中，如果我们只记录两个端口同时产生信号是的两个光子，那么后面两项就是不被我们记录的部分，因此，我们关注的部分就变成了我们需要的，从而达到了抛弃后两项的目的。